高考数学典型例题整理

∴M到x轴的最短距离为

5 4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。

x2y2??1(2?m?5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线例6、已知椭圆

mm?1从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=AB?CD,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防

f(m)?(xB?xA)2?(xD?xC)2?2(xB?xA)?(xD?XC) ? ?2(xB?xC)?(xA?xD) 2(xB?XC)

AByCF10F2Dx此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

x2y2??1中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0) 解：（1）椭圆

mm?1则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-

2m(2?m?5)

2m?1 5

f(m)?AB?CD?2(xB?xA)?(xD?xC)2m

?2(x1?x2)?(xA?xC)?2x1?x2?2?2m?1（2）f(m)?22m?1?11?2(1?)

2m?12m?1∴当m=5时，f(m)min?102 9 当m=2时，f(m)max?42 3点评：此题因最终需求xB?xC，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得

x0y?0?k?0，将y0=x0+1，k=1代入得mm?1x0x0?1m2m??0，∴x0??，可见xB?xC??

2m?12m?1mm?1当然，解本题的关键在于对f(m)?AB?CD的认识，通过线段在x轴的“投影”发现f(m)?xB?xC是解此题的要点。

【同步练习】

x2y21、已知：F1，F2是双曲线2?2?1的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点

abA、B，若AB?m，△ABF2的周长为（ ）

A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m

2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是 （ ）

A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x

3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且AB?AC，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（ ）

x2y2x2y2??1(x?0) ??1 B、A、

4343

6

x2y2x2y2??1(x?0) D、??1(x?0且y?0) C、43434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ） A、(x?)?y?C、x?(y?)?21222919(x??1) B、(x?)2?y2?(x??1) 424919(x??1) D、x2?(y?)2?(x??1) 424122x2y2??1上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是 5、已知双曲线

9166、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是

8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为

9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k= x2y2??1上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sin∠F1PF2的10、设点P是椭圆

259最大值。

11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，AB?43，求直线l的方程和椭圆方程。

x2y212、已知直线l和双曲线2?2?1(a?0,b?0)及其渐近线的交点从左到右依次为

abA、B、C、D。求证：AB?CD。

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【参考答案】

1、C

AF2?AF1?2a,BF2?BF1?2a，

∴AF2?BF2?AB?4a,AF2?BF2?AB?4a?2m,选C 2、C

点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C

3、D

∵AB?AC?2?2，且AB?AC

∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，故选D。 4、A

设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得

191?(2x?1)2?(2y)2?4，∴(x?)2?y2?

2422①又c

∴(x-1)2+y2<4 ②，由①，②得x≠-1，选A 5、

29 39929，M到左准线距离为d?4?(?)? 则M到左焦点的距离为555左准线为x=-

ed?52929?? 35311(y?) 226、x?设弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点为(x，y)，则y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22) ∴

y1?y21?2(x1?x2) ∴2=222x，x?

2x1?x21111代入y=2x2得y?，轨迹方程是x?(y>) 2222将x?

7、y2=x+2(x>2)

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