高考数学典型例题整理

? 所求平面的参数式方程为：

?x??4?2u?v? ?y??u?z?v?3.证明矢量v?{X,Y,Z}平行与平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：AX?BY?CZ?0. 证明： 不妨设A?0，

则平面Ax?By?Cz?D?0的参数式方程为：

DBC?x???u?v?AAA? ?y?u?z?v??BC故其方位矢量为：{?,1,0},{?,0,1}，

AA从而v平行于平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：

BCv，{?,1,0},{?,0,1}共面?

AAXYZB?10?0 AC?01A? AX?BY?CZ?0.

4.已知：连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求B里的坐标z.

解： ? AB?{?3,2,5?z} 而AB平行于7x?4y?z?1?0 由题3知：(?3)?7?2?4?(z?5)?0 从而z?18.

§ 3.2 平面与点的相关位置

1.计算下列点和平面间的离差和距离：

（1）M(?2,4,3)， ?: 2x?y?2z?3?0； （2）M(1,2,?3)， ?: 5x?3y?z?4?0. 解： 将?的方程法式化，得：

212x?y?z?1?0， 3332121故离差为：?(M)?(?)?(?2)??4??3?1??，

3333 ? 41

1M到?的距离d??(M)?.

3（2）类似（1），可求得

?(M)??5353535M到?的距离d??(M)?0.

?6?3?435?0，

2.求下列各点的坐标：

（1）在y轴上且到平面2?2y?2z?2?0的距离等于4个单位的点； （2）在z轴上且到点M(1,?2,0)与到平面3x?2y?6z?9?0距离相等的点； （3）在x轴上且到平面12x?16y?15z?1?0和2x?2y?z?1?0距离相等的点。 解：（1）设要求的点为M(0,y0,0)则由题意

2y0?29?4

? y0?1?6 ?y0??5或7.

即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。 （2）设所求的点为(0,0,z0)则由题意知：

1?2?z0?由此，z0??2或-82/13。 故，要求的点为(0,0,?2)及(0,0,?2226z0?9782)。 13

（3）设所求的点为(x0,0,0)，由题意知：

12?0?125由此解得：x0?2或11/43。

?2x0?13

所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。

,?5),C(1,?1,4)，计算从顶点S向底3.已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(?2,11面ABC所引的高。

解：地面ABC的方程为：

2x?y?2z?5?0 所以，高h??6?2?4?53?3。

4.求中心在C(3,?5,2)且与平面2x?y?3z?11?0相切的球面方程。 解：球面的半径为C到平面?：2x?y?3z?11?0的距离，它为：

R?2?3?5?6?1114?2814?214，

所以，要求的球面的方程为：

(x?3)2?(y?5)2?(z?2)2?56.

222即：x?y?z?6x?10y?4z?18?0.

3.3 两平面的相关位置

42

1.判别下列各对直线的相关位置：

xy??z?3?0； 42（2）2x?y?2z?5?0与x?3y?z?1?0；

9（3）6x?2y?4z?5?0与9x?3y?6z??0。

211解：（1）? 1:2:(?4)?::(?1)， ? （1）中的两平面平行（不重合）；

42（2）? 2:(?1):(?2)?1:3:(?1)， ? （2）中两平面相交；

（3）? 6:2:(?4)?9:3:(?6)， ? （3）中两平面平行（不重合）。

（1）x?2y?4z?1?0与

2.分别在下列条件下确定l,m,n的值：

（1）使(l?3)x?(m?1)y?(n?3)z?8?0和(m?3)x?(n?9)y?(l?3)z?16?0表示同一平面；

（2）使2x?my?3z?5?0与lx?6y?6z?2?0表示二平行平面； （3）使lx?y?3z?1?0与7x?2y?z?0表示二互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：

l?3m?1n?38??? m?3n?9l?3?16即：

?m?2l?3?0??n?2m?7?0 ?l?2n?9?0?从而：l?71337，m?，n?。

999（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：

2m3?? l?6?6所以：l??4，m?3。

（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：

7l?2?3?0 所以： l??1。 7

3.求下列两平行平面间的距离：

（1）19x?4y?8z?21?0，19x?4y?8z?42?0； （2）3x?6y?2z?7?0，3x?6y?2z?14?0。 解：（1）将所给的方程化为：

1948x?y?z?1?0 2121211948?x?y?z?2?0 212121?所以两平面间的距离为：2-1=1。

（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。

4.求下列个组平面成的角：

43

（1）x?y?11?0，3x?8?0；

（2）2x?3y?6z?12?0，x?2y?2z?7?0。 解：（1）设?1：x?y?11?0，?2：3x?8?0

2?3?3?。 ? ?(?1,?2)?或44（2）设?1：2x?3y?6z?12?0，?2：x?2y?2z?7?0

2?6?128?? ? cos(?1,?2)??7?3218181?(?1,?2)?cos?1或?(?1,?2)???cos?1。

2121

§ 3.4空间直线的方程

1.求下列各直线的方程：

（1）通过点A(?3,0,1)和点B(2,?5,1)的直线； （2）通过点M0(x0,y0,z0)且平行于两相交平面?i：

? cos?(1,?2)??3??2 2Aix?Biy?Ciz?Di?0

(i?1,2)的直线；

（3）通过点M(1?5,3)且与x,y,z三轴分别成60,45,120的直线；

???x?1yz?1xy?1z?1???和?垂直的直线； 11?11?10（5）通过点M(2,?3,?5)且与平面6x?3y?5z?2?0垂直的直线。

（4）通过点M(1,0,?2)且与两直线

解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的直线方程为：

x?3yz?1?? 2?3?50x?3yz?1x?3yz?1????即：，亦即。 5?501?10（2）欲求直线的方向矢量为：

?B1C1C1A1,,?BCCA222?2x?x0y?y0所以，直线方程为：??B1C1C1A1A1A2B1?? B2?B2C2C2A2?z?z0。

A1B1A2B2??（3）欲求的直线的方向矢量为：cos60,cos45,cos120??,???1?221?,??， 22?x?1y?5z?3??。 1?121,1,?1???1,?1,0????1,?1,?2?， （４）欲求直线的方向矢量为：?故直线方程为：所以，直线方程为：

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