高考数学典型例题整理

5．求以z轴为母线, 直线??x?1为中心轴的圆柱面的方程． ?y?12解:如习题三.5所示,圆柱面在xoy平面上投影的圆心坐标为?1,1?,半径为2,所以求作的圆柱面方程为?x?1???y?1??2

26．求以z轴为母线, 经过点A(,4,2,2)以及B(6,?3,7)的圆柱面的方程 解:设以z轴为母线的柱面方程为?x?a???y?b??a2 (1) 因为点A(,4,2,2),B(6,?3,7)在柱面上,则有

22?4?a?2??2?b?2?R2 (2) ?6?a?2???3?b?2?R2 (3)

22 则 ?a?0???b?0??R2 (4)

联立(2),(3),(4)求出a?2552225,b??,R? 846422代入(1)式得所求的柱面方程为

25??5?225? ?x????y???8??4?64?2227．根据k的不同取值, 说明(9?k)x?(4?k)y?(1?k)z?1表示的各是什么图形．

222解:方程?9?k?x??4?k?y??1?k?z?1 (1) ①k?9时,(1)式不成立,不表示任何图形;

x2y2z2②4?k?9时,(1)式变为2?2?2?1,表示双叶双曲线;

abcx2y2z2③1?k?4时,(1)式变为2?2?2?1,表示单叶双曲线;

abcx2y2z2④k?1时,(1)式变为2?2?2?1,表示椭球面;

abcx2y2⑤k?1时,(1)式变为2?2?1,表示母线平行于z轴的椭圆柱面;

abx2z2⑥k?4时,(1)式变为2?2?1,表示双曲柱面;

aby2z2⑦k?9时,(1)式变为?2?2?1,不表示任何图形;

bc?x2y2222?1,xyz?????1经过椭圆?9168．已知椭球面与点A(1,2,23), 试确定XYZ?z?0.?X,Y,Z的值．

?x2y2xyz?1??解:因为椭球面与点A(1,2,23),则有 ???1经过椭圆?a16xyz?z?0?222 37

?x2y2z2??1(1)??916z? ?222?1?2?23?1(2)?yz?x??所以x?9,y?16 代入(2)得z?36

?x?9?即?y?16 ?z?36?

复习题四

一、计算与证明题

1．已知|a|?2, |b|?7, |c|?5, 并且a?b?c?0． 计算a?b?b?c?c?a．

解: |a|?2, |b|?7, |c|?5, 且a?b?c?0 则a与c同向，a、c均与b反向. 所以a?b?b?c?c?a?0

?2?7cos1800?7?5cos1800?5?2cos00 ??14?35?10 ??39

2．设力F??i?3j?2k作用在原点点, 求力F对点B(?2,0,1)的力矩的大小．

解:原点坐标O?0,0,0?,则OQ???2,2,1???2i?2j?k

xF??i?3j?2k，F对B的力矩为

ijk1??3i?5j?6k

?70

M?OB?F??20力矩的大小为M??13?2??3?2???5?2???6?23．已知点A(0,1,4), B(?2,3,0)求线段AB的中垂面的方程．

解：已知点A(0,1,4), B(?2,3,0)，设AB的中垂面上任一点的坐标为M?x,y,z?，由两点间的距离公式得

?x?0?2??y?1?2??z?4?2??x?2?2??y?1?2??z?0?2

化简得x?y?2z?1?0

4．已知平面?与三个坐标轴的交点分别为A,B,C且O?ABC的体积为80, 又?在三个坐标轴上的截距之比为4:?5:?3, 求?的方程．

解：设?在三个坐标轴上的截距之比为a:b:c?4:??5?:??3??k，则平面?与三个坐标轴的交点为A?4k,0,0?,B?0,?5k,0?,C?0,0,3k?

11OA?OB?OC??4k?5k?3k?80 663所以，k?8,k?2

因此，a?4k?8,b??5k??10,c??3k??6 V0?ABC? 38

xyz???1 8?10?65．已知两平面?:?2x?my?x?11?0与平面?:mx?y?z?1相互垂直, ,求m的值． 解：平面?:?2x?my?z?11?0， n1???2,m,?1? 平面?:mx?y?z?1， n2??m,?1,?1? ?与?垂直，则n1⊥n2，所以n1?n2?0 即?2m?m?1?0

1 所以m?

3?x?2y?z?1?06．?取何值时直线?与x轴相交?

??x?2y?3z?1?0?x?2y?z?1?0 解：直线?与x轴相交，则交点坐标为?x,0,0?，代入直线方程为

?x?2y?3z?1?0?x?1?0 （1） ?x?1?0 （2）

（1）+（2）得?1???x?0，而原点O?0,0,0?不在直线上，故x?0，所以1???0,???1

?x?0x?8yz?10?? 7．设圆柱面?过直线l1:?, l2以及z轴, 求?的方程． 002y?6? 平面?的方程为

?x?0是yoz平面与y?6的

?y?0平面的交线，在yoz平面上，与z轴的距离为6且平行与z轴

x?8yz?10?? 直线l2，过点002??8,0,0?，方向矢为v??0,0,2?也平行于z轴，所以该圆柱面的母线平行于z轴，且准线在xoy平面内，点?0,0,0?,?0,6,0?,??8,0,0?均在该准线上，所以准线的圆心坐标为??4,3,0?，半径为

解：直线l1:???4?2?32?5

故圆柱面?的方程为?0,6,0?

?x?4?2??y?3?2?25

8．已知球面面?的方程为x?y?z?6x?8y?10z?41?0, 求?的与z轴垂直相交的直径所在直线的方程．

解：求面?的方程为x?y?z?6x?8y?10z?41?0 化为?x?3???y?4???z?5??91?0

222222222 所以球心坐标为O??3,4,?5?

v??3?0,4?0,?5?(?5)???3,4,0?，把点A?0,0,?3?与v代入直线的准线方程得所求直线

xyz?5方程为??

340

39

所求直径与z轴垂直，则垂足坐标为A?0,0,?3?，则该直径所在直线的方向矢为

第3章 平面与空间直线

§ 3.1平面的方程

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

（1）通过点M1(3,1,?1)和点M2(1,?1,0)且平行于矢量{?1,0,2}的平面（2）通过点

M1(1,?5,1)和M2(3,2,?2)且垂直于xoy坐标面的平面；

（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。

解： （1）? M1M2?{?2,?2,1}，又矢量{?1,0,2}平行于所求平面， 故所求的平面方程为：

?x?3?2u?v? ?y?1?2u

?z??1?u?2v?一般方程为：4x?3y?2z?7?0

（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又

M1M2?{2,7,?3}，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：

?x?1?2u??y??5?7u ?z?1?3u?v?一般方程为：7(x?1)?2(y?5)?0，即7x?2y?17?0。

（3）（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： AB?{?4,5,?1}，CD?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：

?x?5?4u?v? ?y?1?5u?z?3?u?2v?一般方程为：10x?9y?5z?74?0。

（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面

AB?{?4,5,?1}， AB?AC?{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}

均与??平行，所以??的参数式方程为：

?x?5?4u?v??y?1?5u?v ?z?3?u?v?一般方程为：2x?y?3z?2?0.

2.化一般方程为截距式与参数式： ?:x?2y?z?4?0. 解：

?

?与三个坐标轴的交点为：(?4,0,0),(0?2,0),(0,0,4)，

xyz???1. ?4?24又与所给平面方程平行的矢量为：{4,?2,0},{4,0,4}，

所以，它的截距式方程为：

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