第二次课 整除的概念

第二次课 整除的概念

教学目标要求：理解多项式整除概念和性质,熟练掌握带余除法及整除的性质。 教学内容：１．带余除法定理和综合除法 ２．整除的概念 ３．整除的性质。

教学重点与难点：多项式整除的概念和性质,带余除法定理；带余除法定理的理论证明.．

一、 带余除法与综合除法

１．带余除法

定理1 设f(x), g(x)都是F[x]中的多项式,且g(x)≠0,那么总可以在F[x]中找到q(x)和r(x),使得

f(x)=g(x)q(x)+r(x)

这里r(x)=0或者r(x)的次数小于g(x)的次数,满足以上条件的q(x)和r(x)只有一对.

证明 : 可行性

若是f(x)=0或者f(x)的次数小于g(x)的次数,取q(x)=0,r(x)=f(x),可使（2）式成立.

00若 ?(f(x))≥?(g(x)),令

f(x)=a0x+a1x

nn-1

+…+an-1x+an

g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm

这里 a0≠0,b0≠0,且n≥m

b0a0xn?m?b0a10xn1?mg(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm

?1?1a0xn?a1nn?1???an?1x?an?f(x)

a0xn??

f1(x)?a10xn1???a1n1?1x?a1n1a10xn1??f2(x)

由此得：

a20xn2???a2n2?1x?a2,n2

?1f1(x)?f(x)?b0a0xn?mg(x), ?1f2(x)?f1(x)?b0a0xn?mg(x),

………………

?1fk(x)?fK?1(x)?b0ak?1,0xnk?1?mg(x)

而 fk(x)=0或fk(x)=0的次数小于m,把这些等式加起来得

nk?1?mn1?m?1n?m?1?1f(x)?g(x)(bax?bax???bax)?fk(x) 000100k?1,0

?1?1?1q(x)?b0a0xn?m?b0a10xn?m???b0ak?1,0xn?m,r(x)?fk(x)1k?1取 ,命题得证.

唯一性：若还有q’(x),r’(x),使f(x)=g(x)q’(x)+r’(x),则由f(x)=g(x)q(x)+r(x),得g(x)(q(x)-q’(x))=r’(x)-r(x).。

若是r’(x)-r(x) ≠0,则q(x)-q’(x) ≠0,,左边次数不小于 g(x)的次数,右边次数小于g(x)的次数,这不可能.于是r’(x)-r(x)=0,从而q(x)-q’(x)=0。这种由f(x),g(x)出发求q(x),r(x)的作法叫带余除法,q(x)叫商式,r(x)叫余式.

２．方法

（1） 长除法,（2）待定系数法 ３．例题 4．综合除法

二、多项式的整除

1． 定义

整除：数域P上的多项式g(x)称为整除f(x),如果有数域P上的多项式h(x)使等式

f(x)=g(x)h(x)

成立。我们用g(x)|f(x)表示整除。

当g(x)|f(x)时,就称g(x)为f(x)的因式,称f(x)为g(x)的倍式.既是f(x)的因式,又是g(x)的因式称为f(x),g(x)的公因式。

2． 判别法

定理：设f(x),g(x)是数域P上的多项式,g(x)?0,则g(x)|f(x) ?g(x)除f(x)的余式为零。 证明： 若g(x)≠0,则g(x)|f(x) ? f(x)=g(x)q(x)+r(x)且r(x)=0

三、整除的性质

1、f(x) | g(x), g(x) | h(x)?f(x) | h(x).

2、h(x) | f(x), h(x) | g(x)?h(x) |（f(x)?g(x)）. 3、h(x) | f(x)?h(x) | f(x)g(x). 4、h(x) | fi(x), i=1,2,…t, gi(x)?F[x]

?h(x) | (f1(x)g1(x)+f2(x)g2(x)+…+ft(x)gt(x)). 5、零次多项式,整除任一多项式 证明：设f(x)=a0+a1x+…+anxn,则

a0a1a?x???nxn) ccc6、cf(x) | f(x)(c≠0).

1因为f(x)= (cf(x)).

c7、f(x) | g(x), g(x) | f(x)?f(x)=cg(x) f(x)?c(pf：g(x)=f(x)u(x), f(x)=g(x)?(x), f(x)=f(x)u(x)?(x).

若 f(x)=0； 则g(x)=0；若f(x)≠0,则因u(x)v(x)=1, 可知?(u(x)v (x))=0.

00从而?(u(x))=0, ?(v (x))=0,即f(x)=cg(x).

0Remark 整除是多项式之间的一种关系,若f(x) | g(x),则说f(x)≤g(x),这样可以规定F[x]中

的一种偏序关系.

四、整除与所论数域无关性

设数域F’含有数域F,而f(x)和g(x)是F[x]的两个多项式,如果在F[x]里g(x)不能整除f(x),那么在F’ [x]里g(x)也不整除f(x).

证明： 若g(x)=0,在F[x]中g(x)不整除f(x) ,则f(x)≠0,在F’[x]中f(x)≠0,故在F’[x]中,g(x)不整除f(x).

若 g(x)≠0,在F[x]中下列等式成立

f(x)=g(x)q(x)+r(x),且r(x)≠0

上述等式在F’ [x]中仍然成立,故在F’ [x]中仍有g(x)不整除f(x).

作业：P44 1(1),3（1),4(2),(3)