江苏省苏锡常镇四市2018届高三模拟考试(二)数学试卷-含答案

则L(x)?60[abab?]，且x?(0,500)， x2(500?x)211?],x?(0,500) ……………………………9 分 x2(500?x)2即L(x)?60ab[（注：不写定义域扣1分） 记l(x)?11?22，则， …………11 分 ?,x?(0,500)l'(x)??x2(500?x)2x3(500?x)3令l?(x)?0，解得x?250，

当x?(0,250)，l?(x)?0，l(x)单调递减； 当x?(250,500)，l?(x)?0，l(x)单调递增； 所以x?250时，l(x)取到最小值，L(x)也取到最小值

6ab. ……………13 分 31256ab. …14 分 3125答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为18. 解（1）由椭圆的离心率为

2，焦点到对应准线的距离为1. 2?c2，???a?2，?a?2得 ?解得? ………………………………………………2 分 2c?1，??a?c?1，???cx2所以，椭圆的标准方程为?y2?1. …………………………………4分

2（2）由（1）知C(0,1)，设D(x0,y0)，

因为CM?2MD，得2y0??1，所以y0??代入椭圆方程得x0?所以l的方程为：y?1， ……………………………6 分 2666161或?，所以D(,?)或D(?,?)， 22222266x?1或y??x?1. …………………………9 分 221x?1， x1（3）设D坐标为(x3，y3）,由C(0,1)，M(x1，0)可得直线CM的方程y??1?y??x?1，?xx12?24x1?1联立椭圆方程得：?解得x3?2,y3?2. …………12 分

2x?2x?211?x?y2?1，??2由B(2,0)，得直线BD的方程：y?x12?2?2x?4x1?2221(x?2)， ①

直线AC方程为y?联立①②得x2?2x?1， ② 22， …………………………………………………………15 分 x1从而x1x2=2为定值. …………………………………………………………16 分 解法2：设D坐标为(x3，y3）， 由C,M,D三点共线得

y3x1?，所以x1?3， ① ………………10 分 ?x1x3?x11?y3y3x3?2=y2x2?2，将y2?由B,D,N三点共线得2x2?1 代入可得 2x2?2x3?2y3?22y3?x3?2， ② …………………………………………………12 分

x32x3?2y3?22x32?2x3y3?2x3?= ①和②相乘得，x1x2? 1?y32y3?x3?2?2y32?x3y3?x3?22x32?2x3y3?2x3??2. ……………………………………………16 分

x32?2(1?)?x3y3?x3?2219. 解：（1）①由f?(x)?3x2?2ax?b及a2?b?0，

得f?(x)?3x2?2ax?a2， ……………………………………………………1 分

a或x??a. 3由a?0知，x?(??,?a)，f?(x)?0，f(x)单调递增，

令f?(x)?0，解得x?aax?(?a,)，f?(x)?0，f(x)单调递减，x?(,??)，f?(x)?0，f(x)单调递增，

33……………………………………………………3 分 a5a3因此，f(x)的极大值为f(?a)?1?a，f(x)的极小值为f()?1?.

327……………………………………………………4 分

3② 当a?0时，b?0，此时f(x)?x3?1不存在三个相异零点；

a5a3当a?0时，与①同理可得f(x)的极小值为f(?a)?1?a，f(x)的极大值为f()?1?.

3273要使f(x)有三个不同零点，则必须有(1?a3)(1?即a3??1或a3?53a)?0， 2727. …………………………………………………………6 分 5不妨设f(x)的三个零点为x1,x2,x3，且x1?x2?x3，

则f(x1)?f(x2)?f(x3)?0，

3f(x1)?x1?ax12?a2x1?1?0， ① 32f(x2)?x2?ax2?a2x2?1?0， ② 32f(x3)?x3?ax3?a2x3?1?0， ③

2?x1x2?x12)?a(x2?x1)(x2?x1)?a2(x2?x1)?0， ②-①得(x2?x1)(x22?x1x2?x12?a(x2?x1)?a2?0， ④ 因为x2?x1?0，所以x2…………………………………………………………8 分

22?x3x2?x2?a(x3?x2)?a2?0， ⑤ 同理x3⑤-④得x2(x3?x1)?(x3?x1)(x3?x1)?a(x3?x1)?0，

因为x3?x1?0，所以x2?x3?x1?a?0， ……………………………………9 分 又x1?x3?2x2，所以x2??a. ………………………………………10 分 32327a所以f(?)?0，即a2???a2，即a3????1，

9a113因此，存在这样实数a??3311满足条件. ………………………………12 分

（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则k1?3m2?2am?b，k2?3n2?2an?b，

f(m)?f(n)(m3?n3)?a(m2?n2)?b(m?n)又k1???m2?mn?n2?a(m?n)?b，

m?nm?n…………………………………………13 分

由此可得3m2?2am?b?m2?mn?n2?a(m?n)?b，化简得n??a?2m，

因此，k2?3(?a?2m)2?2a(?a?2m)?b?12m2?8am?a2?b， ……………15分 所以，12m2?8am?b?a2?4(3m2?2am?b)，

所以a2?3b. …………………………………………………………………16分 20. 解：（1）设数列{Sn}的公差为d?，由6Sn?9bn?an?2， ①

6Sn?1?9bn?1?an?1?2(n≥2)， ②

①-②得6(Sn?Sn?1)?9(bn?bn?1)?(an?an?1)， ③ …………………………2 分

6d??d为常数， 9所以{bn}为等差数列． …………………………………………………………3 分

即6d??9(bn?bn?1)?d，所以bn?bn?1?（2）由③得6bn?9bn?9bn?1?d，即3bn?9bn?1?d， …………………………4 分

d11dd13bn?1??3(bn?1?)??1?1322332???3?所以是与n无关的常数，

1111bn?1?bn?1?bn?1?bn?1?2222bn?所以

d1?1?0或bn?1?为常数． ………………………………6 分 32

d?1?0时，d?3，符合题意； …………………………………………7 分 31②当bn?1?为常数时，

2在6Sn?9bn?an?2中令n?1，则6a1?9b1?a1?2，又a1?1，解得b1?1，…8分

①当所以bn?1?113?b1??， 222dd?1?1?3?3?1，解得d??6． 此时3?313bn?1?22综上，d?3或d??6． ………………………………………………………10分 （3）当d?3时，an?3n?2， ………………………………………………11分 由（2）得数列{bn?}是以

123131为首项，公比为3的等比数列，所以bn???3n?1=?3n，即22221bn=(3n?1)． …………………………………………………12 分

2当n≥2时，cn?bn?bn?1?(3n?1)?(3n?1?1)?3n?1， 当n?1时，也满足上式，

所以cn?3n?1(n≥1)． …………………………………………………13分 设an?ci?cj(1≤i?j)，则3n?2?3i?1?3j?1，即3n?3i?1(3j?i?1)?2， 如果i≥2，因为3n为3的倍数，3i?1(3j?i?1)为3的倍数，

所以2也为3的倍数，矛盾． …………………………………………………15 分 所以i?1，则3n?3?3j?1，即n?1?3j?2(j?2,3,4,)．

所以数列{an}中存在无穷多项可表示为数列{cn}中的两项之和． ……………16 分

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