湖南师大附中2014届高三第三次月考试题数学试卷（理）

一、选择题（每小题5分，共60分） ADBDD DDCDB BA 二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 3 14. (,1) 15. [1,) 16. ④

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）解：p真，则a?1

---------2分

1232 q真，则??(a?1)2?4?0即a?3或a??1 ----------4分 ?“p?q”为真，p?q为假 ?p,q中必有一个为真，另一个为假----5分

当p真q假时，有??a?1 得?1?a?1 -------8分

?1?a?3?

?a?1当p假q真时，有? 得a?3 --------11分

a?3或a??1?实数a的取值范围为?1?a?1或a?3.--------12分

18.（本小题满分12分）

解: （Ⅰ）由正弦定理得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC,所以????2分

cosA-2cosC2c-a2sinC?sinA=,即sinBcosA?2sinBcosC?2sinCcosB?sinAcosB,=cosBbsinBsinC即有sin(A?B)?2sin(B?C),即sinC?2sinA,所以=2. ????6分

sinAcsinC（Ⅱ）由（Ⅰ）知:=2,即c=2a,又因为b?2,所以由余弦定理得： ?asinA

11b2?c2?a2?2accosB，即22?4a2?a2?2a?2a?,解得a?1,所以c=2,又因为cosB=，所

44以sinB=15151511，故?ABC的面积为acsinB??1?2?=. ????12分 4442219．（本小题满分14分）

·5·

解：（1）由已知可得：f(x)?1?cos2x3?sin2x?1 22＝311sin2x?cos2x? 222＝sin2xcos＝sin(2x?故函数的最小正周期T??6?sin?6cos2x?1 2?6)?1 ------------4分 22??? ------------5分 2(2)???3?2x??6?5?3????sin(2x?)?1 626?3?11? y???,?------------------8分

22??（3）将函数y?f(x)的图象向左平移

?12个单位得到函数F(x)?sin2x?1，再将y?F(x)的2图象横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变，得到函数g(x)?sinx?1。 212-----------------------------11分

因为g'(x)?cosx，所以切线的斜率k?g'(0)?cos0?1，而切点为(0,?) 所以g(x)的切线方程为y?(?)?x?0，即2x?2y?1?0

所以直线2x?2y?1?0与y?g(x)的图象相切于(0,?) ------------14分 20. （本小题满分10分）

1212

21．（本小题满分12分）

1 （Ⅰ）解：f?(x)?lnx?1，令f?(x)?0，得x?.

e·6·

1??当x??0，?，f?(x)?0，f(x)单调递减；

e???1?当x??，???，f?(x)?0，f(x)单调递增. ????????????????（2分）

?e?1因为t＞0，t+2＞2＞，

e11?1?（1）当0＜t＜时，f(x)min?f????；

ee?e?1（2）当t≥时，f(x)min?f(t)?tlnt.

e所以f(x)min1?1?，0?t?，??ee ?????????????????????（6分） ??1?tlnt，≥t.?e?（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当x?(0，??)时，

11?1?（当且仅当x=时取到最小值） f(x)?xlnx的最小值是f(x)min?f????，ee?e?x2问题等价于证明xlnx?x?，

ee设m(x)?则m?(x)?x2?(x?(0，??))， exe1?x1，易得，（当且仅当x=1时取到最大值） m(x)?m(1)??maxexe12成立. ???????????（12分） ?exex从而对一切x?(0，??)，都有lnx?请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.

选修4—1：几何证明选讲

22. （本小题满分10分）

C证明: (1)?

AB为切线，AE为割线

GFO?AB2?AD?AE又 ? AB?AC ?ADAD?AE?AC2??（5分）

EB （2） 由（1）有

ADAC?ACAE又??EAC??DAC

??ADC~?ACE???EGF??ADC??ACE ?EGF??ACE

又? ?ADC?GF//AC????????（１０分）

·7·

23

选修4—4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

24

选修4—5：不等式选讲

. （本小题满分10分）

（1）由题+2设知： x?1?x?2?5?0，在同一坐标系中作出函数y?x?1?x?2和y?5的

图象 3分

知定义域为x?(??,?4]?[1,??)． 5分 即x?1?x?2?a?0， 7分 又由（1）x?1?x?2?a，∴

（2）由题设知，当x?R时，恒有x?1?x?2?a?0，

a?1

·8·