小初高学习2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 函数的和、差、积、商

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§3.2 导数的运算

3.2.2 函数的和、差、积、商的导数

课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．

1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即[f(x)±g(x)]′＝______________.

2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f(x)·g(x)]′＝________________.特别地[Cf(x)]′＝__________(其中C为常数)．

3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去________________与分子的积，再除以______________．即_______________________________.

一、填空题

3x1．已知f(x)＝x＋3＋ln 3，则f′(x)＝__________.

x2．曲线y＝xe＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．

42

3．已知函数f(x)＝x＋ax－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b＝________. 4．曲线y＝x(x－1)(x－2)…(x－6)在原点处的切线方程为__________．

x2

5．曲线y＝e在点(2，e)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．

ππ

6．已知函数f(x)＝f′()cos x＋sin x，则f()的值为__________．

44x7．曲线C：f(x)＝sin x＋e＋2在x＝0处的切线方程为____________．

32

8．某物体作直线运动，其运动规律是s＝t＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在

t第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s. 二、解答题

9．求下列函数的导数．

x(1)y＝10；

x＋cos x(2)y＝；

x－cos xx(3)y＝2cos x－3xlog2 011x； (4)y＝x·tan x.

22

10.求曲线y＝x＋sin x在点(π，π)处的切线方程．

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能力提升

11．已知点P在曲线y＝

4

上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范e＋1

x围为__________．

2

12．求抛物线y＝x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．

1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．

2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．

3．2.2 函数的和、差、积、商的导数 教育精品学习资源

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知识梳理

1．和(或差) f′(x)±g′(x)

2．第一个函数乘第二个函数的导数 f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) C·f′(x) 3．分母的积

分母的导数

分母的平方

[

fxgx]′＝

gxfx－fxgg2xx (g(x)≠0)

作业设计

2x1．3x＋3·ln 3

1

解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝的错误．

3

2．x－y＋1＝0

xx解析 y′＝e＋xe，当x＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y＝x＋1，即x－y＋1＝0. 3．18

3

解析 ∵f′(x)＝4x＋2ax－b， ??＝－13?f?－b＝－13，?由?? ?f?－4－2a－b＝－27.－＝－27??

??a＝5，∴?

?b＝13.?

∴a＋b＝5＋13＝18.

4．y＝720x

解析 y′＝(x－1)(x－2)…(x－6)＋x[(x－1)(x－2)…(x－6)]′， 所以f′(0)＝1×2×3×4×5×6＋0＝720. 故切线方程为y＝720x. 125.e 2

xx解析 ∵y′＝(e)′＝e，

22

∴在(2，e)处的切线斜率为e，

222

∴曲线在点(2，e)处的切线方程为y－e＝e(x－2)，

22

即y＝ex－e.

2

当x＝0时，y＝－e， 当y＝0时，x＝1.

1122

∴S△＝×1×|－e|＝e.

22

6．1

?π?解析 ∵f(x)＝f′??cos x＋sin x， ?4??π?∴f′(x)＝－f′??sin x＋cos x. ?4?

22?π??π?∴f′??＝－f′??×＋.

2?4??4?2

1?π?∴f′??＝＝2－1.

?4?1＋222?π?故f??＝(2－1)×＋＝1. 22?4?

7．2x－y＋3＝0

x解析 由f(x)＝sin x＋e＋2

x得f′(x)＝cos x＋e， 教育精品学习资源

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从而f′(0)＝2，又f(0)＝3， 所以切线方程为y＝2x＋3. 1258. 16

3

解析 ∵s′＝2t－2，

t3125

∴当第4秒末，v＝8－＝(m/s)．

1616xx9．解 (1)y′＝(10)′＝10ln 10. (2)y′＝ x＋cos xx－cos x－x＋cos xx－cos x 2x－cos x－sin xx－cos x－x＋cos x＋sin x＝ 2

x－cos x－x＋xsin x＝. x－cos x2

xx(3)y′＝(2)′cos x＋(cos x)′2－3[x′log2 011 x＋(log2 011x)′x]

?1?xx＝2ln 2·cos x－sin x·2－3[log2 011 x＋?log2 011 e?x]

?x?

＝2ln 2·cos x－2sin x－3log2 011 x－3log2 011 e.

?xsin x?′

(4)y′＝(xtan x)′＝??

?cos x?

xsin x′cos x－xsin xcos x′＝ 2

cos x2

sin x＋xcos xcos x＋xsinx＝ 2cos x22

sin xcos x＋xcosx＋sinx＝ 2

cos x1

sin 2x＋x2sin 2x＋2x＝. 2＝2

cos x2cosx10．解 f′(x)＝2x＋cos x.

2

故曲线在点(π，π)的切线斜率为2π－1，

2

所以切线为y－π＝(2π－1)(x－π)，

2

即(2π－1)x－y－π＋π＝0.

3π

11．[，π)

4

x4e4

解析 y′＝－2x＝－， xe＋2e＋11xe＋2＋xe

1x∵e＋x≥2，∴－1≤y′<0，即－1≤tan α<0，

e

?3π，π?. ∴α∈??

?4?

2

12．解 依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x的切线的切点到直线x－y－2

2

＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x0)．

12

∵y′＝(x)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝. 2

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?11?切点坐标为?，?. ?24?

∴所求的最短距离d＝

?1－1－2??24???72

2

＝

8

.

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