三角形的五心

三角形的五心

内心（三角形三条内角平分线交点）

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。

性质

设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。

1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

3、r=S/p。

证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。

4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。

5、∠BOC=90°+∠A/2。

6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：

a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：

(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c))，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。

9、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr。

10、内角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。设R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC

证明：由正弦定理得

b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC， ∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.

又BD=2R1sinBAD， CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC

11、内切圆半径r=外心

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

证明

注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。

计算外心的重心坐标是一件麻烦的事。先计算下列临时变量： d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。 c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 且：

直角三角形外心在斜边的中点。 锐角三角形外心在内部。 钝角三角形外心在外部。

设O是三角形ABC的外心则∠AOC=2∠ABC,∠AOB=2∠ACB 与多边形各角都相交的圆叫做多边型的外接圆。

三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是三条中垂线的交点，直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上。

三角形外接圆圆心叫外心

有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）

例题分析

例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．

分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角． 解 ∵ PC⊥平面ABC ∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．

设PC=a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是

∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC=45°∴ 在Rt△DEA

评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解．

例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．(图1－126)

分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ． 同理，有PB⊥a， ∵ PA∩PB=P， ∴ a⊥面PAQB于Q

又 AQ、BQ 平面PAQB

∴ AQ⊥a，BQ⊥a．

∴ ∠AQB是二面角M－a－N的平面角． ∴ ∠AQB=60°

连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有 ∠PAQ=∠PBQ=90°

∴ P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R 在△PAB中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA=180°-60°=120°，由余弦定理得 AB2=1+4-2×1×2cos120°=7 由正弦定理：

评注 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角．

例3 如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小． 分析 二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱． 解 (1)∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC ∴ BD⊥PC(三垂线定理)

在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角． 在Rt△PAB中，由PA=AB=a ∵ PA⊥平面ABCD，BC⊥AB ∴ BC⊥PB(三垂线定理) 在Rt△PBC中，

在△BDE中，根据余弦定理，得 ∴ ∠BED=120°

即二面角B－PC－D的大小为120°．

(2)过P作PQ ∥AB，则PQ 平面PAB，

∵ AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ 平面PCD

∴ 平面PAB∩平面PCD于PQ ∵ PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ ∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD

∴ CD⊥PD(三垂线定理的逆定理) ∵ PQ∥CD ∴ PD⊥PQ

所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．

∵ PA=AB=AD，∴∠APD=45°

即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.

评注 在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角．

旁心

旁心是三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心。