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双曲线及其标准方程 专题学案汇编

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全国名校高中数学优质学案专题汇编(经典问题附详解)

双曲线及其标准方程

班级: 姓名: 小组: 【学习目标】

(1)了解双曲线的定义和标准方程. (2)会推导双曲线的标准方程. 【重点难点】

重点:求双曲线的标准方程.

难点:应用双曲线的定义及标准方程解决简单的应用问题. 【学法指导】

有了椭圆的学习体验,在学习双曲线的定义及标准方程的推导时,通过类比来探究,充分发挥学生的主体作用,并通过引导学生比较椭圆与双曲线定义与标准方程的区别,深化对双曲线的认识,从而突出重点,化解难点. 【学习流程】 一.预习感知

1.双曲线的有关概念

(1)双曲线的定义

平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于__________)的点的集合叫作双曲线.

平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为__________________________. 平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________. (2)双曲线的焦点和焦距

双曲线定义中的两个定点F1、F2叫作________________,两焦点间的距离叫作______________. 2.双曲线的标准方程

(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是____________________,焦点F1__________,F2__________. (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是____________________,焦点F1__________,F2__________. (3)双曲线中a、b、c的关系是________________.

答案:1.(1)|F1F2| 以F1,F2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距

x2y2

2.(1)a2-b2=1(a>0,b>0) (-c,0) (c,0) y2x2

(2)a2-b2=1(a>0,b>0) (0,-c) (0,c) (3)c2=a2+b2

3. 请同学们类比椭圆标准方程的推导方法,试着推导一下双曲线的标准方程(必须有化简过程,上课前检.....查)

全国名校高中数学优质学案专题汇编(经典问题附详解)

二.预习检测

x2y2

1.双曲线10-2=1的焦距为( ) A.32 C.33 [答案] D

[解析] c2=a2+b2=10+2=12,则2c=43,故选D.

2.已知平面内有一定线段AB,其长度为4,动点P满足|PA|-|PB|=3,O为AB的中点,则|PO|的最小值为( )

A.1 C.2 [答案] B

[解析] 如图,以AB为x轴,AB中点O为坐标原点建系.∵|PA|-|PB|=3∴P点3

轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.由图知|PO|最短为2.

3.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 [答案] D

y2x2

[解析] 方程mx-my=n可化为:n-n=1,

--mm

2

2

B.42 D.43

3B.2 D.4

n

∵mn<0,∴->0,

m

∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.

4.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( ) 1A.4 3B.5 全国名校高中数学优质学案专题汇编(经典问题附详解)

3C.4 [答案] C

4D.5 [解析] 本题考查双曲线定义.由|PF1|=2|PF2|及|PF1|-|PF2|=22知|PF2|=22 ?42?2+?22?2-423

∴|PF1|=42,而|F1F2|=4,∴由余弦定理知cos∠F1PF2==4.

2×42×22x2y2

5.过双曲线-=1的焦点且与x轴垂直的直线被双线截取的线段的长度为( )

3443A.3 83C.3 [答案] C

[解析] ∵a2=3,b2=4,∴c2=7,∴c=7, 该直线方程为x=7,

?由?x=?

B.43 D.83

x2y21673-4=1得y2=,

3

4383∴|y|=3,弦长为3.

y2

6.设P为双曲线x-12=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2

2

的面积为( )

A.63 C.123 [答案] B

[解析] 由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=2

又∵|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=6,|PF2|=4,由双曲线方程知a2=1,b2=12,∴c2=13,∴|F1F2|=2c=213,由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2得PF1⊥PF2,

11

∴S△PF1F2=2|PF1|·|PF2|=2×6×4=12.

y22

7.双曲线2-x=1的两个焦点坐标是________________. [答案] (0,±3)

[解析] a2=2,b2=1,c2=3,∴c=±3,又焦点在y轴上.

x2y2

8.若方程-=1表示双曲线,则实数k的取值范围是________________.

k-3k+3[答案] k>3或k<-3

B.12 D.24

全国名校高中数学优质学案专题汇编(经典问题附详解)

[解析] 当{k-当{k-

k+3>0 ,即k>3时,方程表示焦点在x轴上的双曲线;

k+3<0 ,即k<-3时,方程表示焦点在y轴上的双曲线.

所以若方程表示双曲线,则实数k的取值范围是k>3或k<-3.

[总结反思] 错解中得到k>3的结果是不完整的,这是由于对双曲线标准方程理解不深刻,误认为该方x2y2

程仅表示焦点在x轴上的双曲线,遗漏了焦点在y轴上的情况,事实上,若方程p-q=1表示双曲线,则应有pq>0.

三.合作探究

求双曲线的标准方程

根据下列条件,求双曲线的标准方程.

1516

(1)过点P(3,4),Q(-3,5)且焦点在坐标轴上. (2)c=6,经过点(-5,2),焦点在x轴上.

【思路探究】 (1)焦点位置不确定、用待定系数法分类求解或直接设所求双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0).

(2)用待定系数法求解,注意c2=a2+b2.

【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为mx2+ny2=1(mn<0), 1516

∵双曲线过P(3,4),Q(-3,5)

?∴?256

?9m+25n=1

2259m+16n=1

?,解得?1

n=?9

1m=-16

.

y2x2

∴所求双曲线方程是9-16=1. (2)∵焦点在x轴上,c=6,

x2y2

∴设所求双曲线方程为λ-=1(其中0<λ<6).

6-λ∵双曲线经过点(-5,2), 254∴λ-=1,

6-λ∴λ=5或λ=30(舍去). x22

∴所求双曲线方程是5-y=1.

x2y2

(2).求与双曲线16-4=1共焦点,且过点(32,2)的双曲线方程.

x2y2[解析] 由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为-=1.

16-k4+k

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