双曲线及其标准方程 专题学案汇编

全国名校高中数学优质学案专题汇编（经典问题附详解）

双曲线及其标准方程

班级： 姓名： 小组： 【学习目标】

(1)了解双曲线的定义和标准方程． (2)会推导双曲线的标准方程． 【重点难点】

重点：求双曲线的标准方程．

难点：应用双曲线的定义及标准方程解决简单的应用问题． 【学法指导】

有了椭圆的学习体验，在学习双曲线的定义及标准方程的推导时，通过类比来探究，充分发挥学生的主体作用，并通过引导学生比较椭圆与双曲线定义与标准方程的区别，深化对双曲线的认识，从而突出重点，化解难点． 【学习流程】 一．预习感知

1．双曲线的有关概念

(1)双曲线的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于__________)的点的集合叫作双曲线．

平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为__________________________． 平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距

双曲线定义中的两个定点F1、F2叫作________________，两焦点间的距离叫作______________． 2．双曲线的标准方程

(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F1__________，F2__________. (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F1__________，F2__________. (3)双曲线中a、b、c的关系是________________．

答案：1．(1)|F1F2| 以F1，F2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距

x2y2

2．(1)a2－b2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0) y2x2

(2)a2－b2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c2＝a2＋b2

3. 请同学们类比椭圆标准方程的推导方法，试着推导一下双曲线的标准方程（必须有化简过程，上课前检．．．．．查）

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二．预习检测

x2y2

1．双曲线10－2＝1的焦距为( ) A．32 C．33 [答案] D

[解析] c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，则2c＝43，故选D．

2．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为( )

A．1 C．2 [答案] B

[解析] 如图，以AB为x轴，AB中点O为坐标原点建系．∵|PA|－|PB|＝3∴P点3

轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．由图知|PO|最短为2.

3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是( ) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 [答案] D

y2x2

[解析] 方程mx－my＝n可化为：n－n＝1，

－－mm

2

2

B．42 D．43

3B．2 D．4

n

∵mn<0，∴－>0，

m

∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．

4．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( ) 1A．4 3B．5 全国名校高中数学优质学案专题汇编（经典问题附详解）

3C．4 [答案] C

4D．5 [解析] 本题考查双曲线定义．由|PF1|＝2|PF2|及|PF1|－|PF2|＝22知|PF2|＝22 ?42?2＋?22?2－423

∴|PF1|＝42，而|F1F2|＝4，∴由余弦定理知cos∠F1PF2＝＝4.

2×42×22x2y2

5．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的直线被双线截取的线段的长度为( )

3443A．3 83C．3 [答案] C

[解析] ∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝7， 该直线方程为x＝7，

?由?x＝?

B．43 D．83

x2y21673－4＝1得y2＝，

3

4383∴|y|＝3，弦长为3.

y2

6．设P为双曲线x－12＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2

2

的面积为( )

A．63 C．123 [答案] B

[解析] 由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝2

又∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4，由双曲线方程知a2＝1，b2＝12，∴c2＝13，∴|F1F2|＝2c＝213，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2得PF1⊥PF2，

11

∴S△PF1F2＝2|PF1|·|PF2|＝2×6×4＝12.

y22

7．双曲线2－x＝1的两个焦点坐标是________________． [答案] (0，±3)

[解析] a2＝2，b2＝1，c2＝3，∴c＝±3，又焦点在y轴上．

x2y2

8．若方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是________________．

k－3k＋3[答案] k>3或k<－3

B．12 D．24

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[解析] 当{k－当{k－

k＋3>0 ，即k>3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；

k＋3<0 ，即k<－3时，方程表示焦点在y轴上的双曲线．

所以若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是k>3或k<－3.

[总结反思] 错解中得到k>3的结果是不完整的，这是由于对双曲线标准方程理解不深刻，误认为该方x2y2

程仅表示焦点在x轴上的双曲线，遗漏了焦点在y轴上的情况，事实上，若方程p－q＝1表示双曲线，则应有pq>0.

三．合作探究

求双曲线的标准方程

根据下列条件，求双曲线的标准方程．

1516

(1)过点P(3，4)，Q(－3，5)且焦点在坐标轴上． (2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．

【思路探究】 (1)焦点位置不确定、用待定系数法分类求解或直接设所求双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．

(2)用待定系数法求解，注意c2＝a2＋b2.

【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 1516

∵双曲线过P(3，4)，Q(－3，5)

?∴?256

?9m＋25n＝1

2259m＋16n＝1

?，解得?1

n＝?9

1m＝－16

.

y2x2

∴所求双曲线方程是9－16＝1. (2)∵焦点在x轴上，c＝6，

x2y2

∴设所求双曲线方程为λ－＝1(其中0＜λ＜6)．

6－λ∵双曲线经过点(－5,2)， 254∴λ－＝1，

6－λ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． x22

∴所求双曲线方程是5－y＝1.

x2y2

（2）．求与双曲线16－4＝1共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．

x2y2[解析] 由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为－＝1.

16－k4＋k