2020高考数学一轮复习不等式选讲第1节绝对值不等式课时分层训练文北师大版

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课时分层训练(五十七) 绝对值不等式

1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]． (1)求m＋n的值；

(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.

[解] (1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1， 得1≤x≤2，3分

∴m＝1，n＝2，m＋n＝3. 5分

(2)证明：若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1. 102．若函数f (x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值． [解] 当a＝－1时，f (x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意； ?－3x－1＋2a，x≤a，当a＜－1时，f (x)＝?

?x－1－2a，a＜x≤－1，

??3x＋1－2a，x＞－1，

3分

f (x)min＝f (a)＝－3a－1＋2a＝5，

解得a＝－6；5分

?－3x－1＋2a，x≤－1，当a＞－1时，f (x)＝?

?－x＋1＋2a，－1＜x≤a，

??3x＋1－2a，x＞a，

7分

f (x)min＝f (a)＝－a＋1＋2a＝5，

解得a＝4. 9分

综上所述，实数a的值为－6或4. 10分

3．(2017·衡水中学调研)已知函数f (x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f (x)≥3的解集；

(2)若f (x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围． [解] (1)当a＝－3时，

不等式f (x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*) 若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1. 若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为?. 若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.

综上可知，f (x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}. 4分 (2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**)

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当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|， 解得－2－a≤x≤2－a. 8分

由条件，[1,2]是f (x)≤|x－4|的解集的子集， ∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0，

故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0]. 10分

?1??1?4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x)＝?x－?＋?x＋?，M为不等式f (x)＜2的解集． ?2??2?

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.

??11

[解] (1)f (x)＝?1，－＜x＜，221?2x，x≥.?2

11

当－＜x＜时，f (x)＜2；

22

1

－2x，x≤－，2

1

当x≤－时，由f (x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；

2

1

当x≥时，由f (x)＜2得2x＜2，解得x＜1.

2所以f (x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}. 5分

(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)－(1＋ab)＝a＋b－ab－1＝(a－1)(1－b)＜0.

因此|a＋b|＜|1＋ab|. 10分

5．(2017·湖南长郡中学模拟)已知正实数a，b满足：a＋b＝2ab. 11

(1)求＋的最小值m；

2

2

2

2

22

2

2

2

2

ab?1?(2)设函数f (x)＝|x－t|＋?x＋?(t≠0)，对于(1)中求得的m是否存在实数x，使得

?

t?

mf (x)＝成立，说明理由.

2

【导学号：】

[解] (1)∵2ab＝a＋b≥2ab， ∴ab≥ab(a＞0，b＞0)，则ab≤1.

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