当前位置:首页 > 2020高考数学一轮复习不等式选讲第1节绝对值不等式课时分层训练文北师大版
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课时分层训练(五十七) 绝对值不等式
1.已知|2x-3|≤1的解集为[m,n]. (1)求m+n的值;
(2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1.
[解] (1)由不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1, 得1≤x≤2,3分
∴m=1,n=2,m+n=3. 5分
(2)证明:若|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1. 102.若函数f (x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,求实数a的值. [解] 当a=-1时,f (x)=3|x+1|≥0,不满足题意; ?-3x-1+2a,x≤a,当a<-1时,f (x)=?
?x-1-2a,a<x≤-1,
??3x+1-2a,x>-1,
3分
f (x)min=f (a)=-3a-1+2a=5,
解得a=-6;5分
?-3x-1+2a,x≤-1,当a>-1时,f (x)=?
?-x+1+2a,-1<x≤a,
??3x+1-2a,x>a,
7分
f (x)min=f (a)=-a+1+2a=5,
解得a=4. 9分
综上所述,实数a的值为-6或4. 10分
3.(2017·衡水中学调研)已知函数f (x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f (x)≥3的解集;
(2)若f (x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. [解] (1)当a=-3时,
不等式f (x)≥3化为|x-3|+|x-2|≥3.(*) 若x≤2时,由(*)式,得5-2x≥3,∴x≤1. 若2<x<3时,由(*)式知,解集为?. 若x≥3时,由(*)式,得2x-5≥3,∴x≥4.
综上可知,f (x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}. 4分 (2)原不等式等价于|x-4|-|x-2|≥|x+a|,(**)
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当1≤x≤2时,(**)式化为4-x-(2-x)≥|x+a|, 解得-2-a≤x≤2-a. 8分
由条件,[1,2]是f (x)≤|x-4|的解集的子集, ∴-2-a≤1且2≤2-a,则-3≤a≤0,
故满足条件的实数a的取值范围是[-3,0]. 10分
?1??1?4.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x)=?x-?+?x+?,M为不等式f (x)<2的解集. ?2??2?
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
??11
[解] (1)f (x)=?1,-<x<,221?2x,x≥.?2
11
当-<x<时,f (x)<2;
22
1
-2x,x≤-,2
1
当x≤-时,由f (x)<2得-2x<2,解得x>-1;
2
1
当x≥时,由f (x)<2得2x<2,解得x<1.
2所以f (x)<2的解集M={x|-1<x<1}. 5分
(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)-(1+ab)=a+b-ab-1=(a-1)(1-b)<0.
因此|a+b|<|1+ab|. 10分
5.(2017·湖南长郡中学模拟)已知正实数a,b满足:a+b=2ab. 11
(1)求+的最小值m;
2
2
2
2
22
2
2
2
2
ab?1?(2)设函数f (x)=|x-t|+?x+?(t≠0),对于(1)中求得的m是否存在实数x,使得
?
t?
mf (x)=成立,说明理由.
2
【导学号:】
[解] (1)∵2ab=a+b≥2ab, ∴ab≥ab(a>0,b>0),则ab≤1.
2
2
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