理科数学2010-2019高考真题分类训练专题九 解析几何第二十八讲 抛物线

专题九 解析几何

第二十八讲 抛物线

2019年

1.（2019全国II理8）若抛物线y=2px(p>0)的焦点是椭圆

2

x23p?y2p?1的一个焦点，则p=

A．2 B．3 C．4 D．8

2.（2019北京理18（1））已知抛物线C:x2??2py经过点(2，-1).求抛物线C的方程及其准线方程； 3．（2019全国I理19）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的交点为P． （1）若

3的直线l与C的交点为A，B，与x轴2AF?BF?4，求l的方程；

uuuruur（2）若AP?3PB，求AB．

1x24. （2019全国III理21）已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切线，切点分

22别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，

5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 2

2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C：y?4x的焦点为F，过点(?2,0)且斜率为两点，则FM?FN= A．5

B．6

C．7 D．8

222的直线与C交于M，N32．（2017新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y?4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与

C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|?|DE|的最小值为

A．16 B．14 C．12 D．10

3．(2016年四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y?2px(p?0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为

2

A．322 B． C． D．1 3234．(2016年全国I)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知

|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为

A．2 B．4 C．6 D．8

5．（2015浙江）如图，设抛物线y?4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C，其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则?BCF与?ACF的面积之比是

2

A．

BF?1AF?1 B．

BF?1AF?1222 C．

BF?1AF?1 D．

BF?1AF?1222

226．（2015四川）设直线l与抛物线y?4x相交于A,B两点，与圆?x?5??y?r?r?0?相切于点M，

且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是 A．?1，3? B．?1，4? C．?2，3? D．?2，4?

7．（2014新课标1）已知抛物线C：y?8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若FP?4FQ，则|QF|= A．

275 B． C．3 D．2 228．（2014新课标2）设F为抛物线C：y2?3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O

为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） A．3393 C．63 D．9

B．4328429．（2014辽宁）已知点A(?2,3)在抛物线C：y?2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于

点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ） A．

1234 B． C． D． 2343

210．（2013新课标1）O为坐标原点，F为抛物线C:y?42x的焦点，P为C上一点，若|PF|?42，则?POF的面积为（ ） A．2

B．22

C．23 2

D．4

11．（2013江西）已知点A?2,0?，抛物线C:x?4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，

与其准线相交于点N，则|FM|:|MN|= A．2:5 B．1:2 C．1:

5 D．1:3

212．（2012新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y?16x的准线交于A、B两点，|AB|?43，则C的实轴长为 A、2

B、22

C、4

D、8

x2y213．（2012山东）已知双曲线C1：2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2．若抛物线C2:x2?2py(p?0)的焦

ab点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 A．x2?83163y B．x2?y C．x2?8y D．x2?16y 3314．（2011新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，|AB|?12，l与C交于A，B两点，

P为C的准线上一点，则?ABP的面积为

A．18 B．24 C．36 D．48 二、填空题

15．(2018全国卷Ⅲ)已知点M(?1,1)和抛物线C：y?4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，

2B两点．若?AMB?90，则k?______．

16．（2017新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y?8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点

2N．若M为FN的中点，则|FN|? ．

2217．（2015陕西）若抛物线y?2px(p?0)的准线经过双曲线x?y?1的一个焦点，则p=

218．（2014湖南）如图4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a?b)，原点O为AD的中

点，抛物线y?2px(p?0)经过C,F两点，则2b? ． a

19．（2013北京）若抛物线y?2px的焦点坐标为(1,0)，则p? ，准线方程为 ．

20．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，

水面宽 米．

2

21．（2010浙江）设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，

则B到该抛物线准线的距离为_____________． 三、解答题

22．（2018北京）已知抛物线C：y?2px经过点P(1,2)．过点Q(0,1)的直线l与抛物线C 有两个不同

的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． (1)求直线l的斜率的取值范围；

(2)设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证：

221??1?为定值．

23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线C：y?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，

2B两点，|AB|?8．

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

24．（2018浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y?4x上存在不同的两点A，

2B满足PA，PB的中点均在C上．