2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编--概率统计

2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编——概率统计

1.（昌平）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI），绘制如下频率分布直方图：

频率/组距 频率/组距 0.008 0.007 0.003 0.001

0.0080.0050.0030.00250100150200250AQIOO50100150200250AQI图1 A地空气质量指数（AQI） 图2 B地空气质量指数（AQI）

根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：

空气质量指数AQI 空气质量状况 (0,100) [100,200) [200,300) 优良 轻中度污染 重度污染 （I）试根据样本数据估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；

(II) 若分别在A、B两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.

解：（Ⅰ）从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008?0.007)?50?0.75，估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A地区当年

（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365?0.75?274天 .

--------------------4分

（Ⅱ）A地20天中空气质量指数在[150,200)内，为20?0.003?50?3个，设为a1,a2,a3，

空气质量指数在[200,250)内，为20?0.001?50?1个，设为a4， B地20天中空气质量指数在[150,200)内，为20?0.002?50?2个，设为b1,b2， 空气质量指数在[200,250)内，为20?0.003?50?3个，设为b3,b4,b5，

设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C， 则基本事件空间

??{a1b1,a1b2,a1b3,a1b4,a1b5,a2b1,a2b2,a2b3,a2b4,a2b5,a3b1,a3b2,a3b3,a3b4,a3b5,a4b1,a4b2,a4b3,a4b4,a4b5}，基本事件

个数为n?20，C?{a4b3,a4b4,a4b5}，包含基本事件个数为m?3， 所以A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为P(C)?

2.（朝阳）某市的一个义务植树点，统计了近10年栽种侧柏和银杏的数据（单位：株），制表如下： 年份 侧柏 银杏 2008 3200 3400 2009 3600 3300 2010 3300 3600 2011 3900 3600 2012 3500 3700 2013 3300 4200 2014 3900 4400 2015 3600 3700 2016 4100 4200 2017 4000 4200 3. -------------13分

20（Ⅰ）根据表中数据写出这10年内栽种银杏数量的中位数,并计算这10年栽种银杏数量的平均数；

（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰

有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.

解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.

设平均数为x，

则x?3400?3300?3600?3600?3700?4200?4400?3700+4200+4200=3830株.

10……… 4分

（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.

设事件A表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况. 所以P(A)=63=. 1053………………13分 5答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为

3. （东城）某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中

抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为 B （A）66 （B）54 （C）40 （D）36

4.（东城）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．

A组：128，100，151，125，120． B组：100，102，96，101， a．

已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个

数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率； （Ⅲ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义． 解：（Ⅰ）因为B组数据的中位数为100，

所以a?100． 因为从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是

4. 54， 5所以a?100． 所以a?100. ????5分 （Ⅱ）从A组中取到128,151,125,120时，B组中符合题意的取法为100,96,100，

共4?3?12种；

从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,96,101,100， 共1?5?5种； 因此符合题意的取法共有12?5?17种， 而所有不同的取法共有5?5?25种， 所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率P?17. ????10分 25（Ⅲ）B组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正

点运行”率高，运行更加有保障． ????13分

5.（房山） 1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组?20，30?，?30,40?，???，?80,90?，并整理得到如下频率分布直方图：

频率 组距 0.04 0.02 0.01 O

20 30 40 50 60 70 80 阅读量： 本数 90 （Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；

（Ⅱ）已知阅读量在?20，30?，?30,40?，?40，50?内的学生人数比为2:3:5.为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在?20,40?内的学生中随机2人进行座谈，求2人分别在不同组的概率；

（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外书阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．

解：（Ⅰ）100-100?10?（0.04+0.02?2）=20（人） ????4分 （Ⅱ）由已知条件可知：

50?内人数为：100-100?（0.04+0.02+0.02=0.01)=10 ?20，50?人数为5人. ?20，30?人数为2人，?30，40?人数为3人，?40，设?20，30?2人为a,b, ?30，40?3人为c,d,e 设事件A为“两人分别在不同组”

从?20，40?内的学生中随机选取2人包含（a,b）,(a,c),(a,d),(a,e),(b,c), (b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10个基本事件，而事件A包含

(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)共6个基本事件

所以P?A??6?3 ????10分

105（Ⅲ）第五组 ????13分

6. (丰台)某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取8位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取8位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图：

A组客户 B组客户 30 25 25 20 2 00 20 30 40 38 32 30 3 32 38 40 60 80

注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）分别求出A组客户与B组客户“实际平均续航里程数”的平均值；

（Ⅱ）在A，B两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于335的客户中各随机抽取1位客户，求A组客

户的“实际平均续航里程数”不小于B组客户的“实际平均续航里程数”的概率； （Ⅲ）试比较A，B两组客户数据方差的大小．（结论不要求证明）

解：（Ⅰ）A组平均值为：

220?225?225?230?330?332?338?340?280；?????1分

8200?220?230?332?338?340?360?380?300．?????2分 B组平均值为：

8（Ⅱ）将A组客户中实际平均续航里程数为338, 340的客户分别记为a1，a2；

将B组客户中实际平均续航里程数为338, 340, 360, 380的客户分别记为b1，b2，b3，b4． 从A，B两组实际平均续航里程数大于335km的客户中各随机抽取1位客户的事件包括：

a1b1，a1b2，a1b3，a1b4，a2b1，a2b2，a2b3，a2b4，共8种， ???????5分

其中A组客户的实际平均续航里程数不小于B组客户的实际平均续航里程数的事件包括：

a1b1，a2b1，a2b2，共3种． ???????7分

设“A组客户的实际平均续航里程数不小于B组客户的实际平均续航里程数”为事件M， ???????8分

3． ???????10分 83所以A组客户的实际平均续航里程数不小于B组客户的实际平均续航里程数的概率为．

8则P(M)?（III）A组数据的方差小于B组数据的方差． ???????13分