北京市昌平区2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)

（1）求证：CD?PA；

（2）求二面角C?PA?D的余弦值；

（3）在棱PC上是否存在点M，使得BM?平面PCD？若存在，求说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】

(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出CD?PA； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；

(3)由P，C，M三点共线，利用向量共线得出PM??PC，利用线面垂直的判定定理证明

PM的值？若不存在，PC3；（3）不存在，理由见解析 3uuuuruuururuuuuruu平面PCD，由于BM，PA不平行，则不存在棱PC上的点M，使得BM?平面PCD.

【详解】（1）在四棱锥P?ABCD中

因为平面PAD?平面ABCD，平面PADI平面ABCD?AD 又因为CD?AD，CD?平面ABCD 所以CD?平面PAD 因为PA?平面PAD 所以CD?PA

（2）取AD中点O，连接OP,OB 因为PA?PD 所以PO?AD

因为平面PAD?平面ABCD，平面PADI平面ABCD?AD 因为PO?平面PAD

所以PO?平面ABCD 所以PO?OA,PO?OB

因为CD?AD,BC//AD,AD?2BC 所以BC//OD,BC?OD 所以四边形OBCD是平行四边形 所以OB?AD

如图建立空间直角坐标系O?xyz，则

O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),C(?1,2,0),D(?1,0,0),P(0,0,1). uuuvuuuvAC?(?2,2,0),AP?(?1,0,1).

设平面PAC的法向量为n?(x,y,z)，则

ruuuvv?AC?n?0,??2x?2y?0,vv即? ?uuu?x?z?0.?AP?n?0.?令x?1，则y?1,z?1. 所以n?(1,1,1).

ruuur因为平面PAD的法向量OB?(0,2,0)，

vvuuuuuuvn?OB3vcosn,OB??. uuuv所以v3nOB由图可知，二面角C?PA?D为锐二面角， 所以二面角C?PA?D的余弦值为3. 3

（3）设M是棱PC上一点，则存在??[0,1]使得PM??PC.

uuuuruuuruuuruuurM(x,y,z)设,2,?1). 000，则PM?(x0,y0,z0?1),PC?(?1所以(x0,y0,z0?1)??(?1,2,?1). 所以x0???,y0?2?,z0?1??. 所以M(??,2?,1??).

uuur所以BM?(??,2??2,1??).

因为AP?PD,AP?CD,CDIPD?D,CD,PD?平面PCD 所以PA?平面PCD.

uur所以PA?(1,0,?1)是平面PCD的一个法向量.

uuuruur若BM?平面PCD，则BM//PA.

所以??2??2?0,

??1??.?因为方程组无解，

所以在棱PC上不存在点M，使得BM?平面PCD.

点睛】本题主要考查了利用线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.

x2y2321.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，点M(0,2)在椭圆C上，焦点

ab2为F1,F2，圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的标准方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆C交于A,B两点．记VOAB 的面积为S，证明：S?3．

x2y2【答案】（1）（2）见解析 ??1，x2?y2?6；

82【解析】 【分析】

(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆C及圆O的标准方程；

(2)利用斜截式设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式得到点O到直线l的距离，将直线l的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出AB的长度，利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可证明S?3. x2y2【详解】（1）由题意，椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0).

ab?c3?,??a2?8,2?a?2?可得?b?2,，解得?b?2,

?c2?6.?a2?b2?c2????x2y2所以椭圆C的方程为??1．

82因为焦点在x轴上，

所以椭圆C的焦点为F． 1(?6,0),F2(6,0)