当前位置:首页 > 大学物理 朱峰习题精解第一章 质点运动学
积分dv?(3?2t)dt
50?v?3 v5dv?(3t?t2)
0v3 v?5?3?3?32?18 ?v?23m/s
4、某物体的运动规律为dv/dt??kvt,式中的 k 为大于零的常数,当 t=0 时,初速为 vo。速度与时间的函数关系是怎样的? 解:由
2dvdv??kv2t 得2??ktdt dtvtdv112t积分 ??ktdt(?)??kt
0v0v20vv02?vv? 得
1112??kt vv0225、质点沿半径为R的圆周运动,运动方程为??3?2t (SI),则 t 时刻质点的法向加速度大小为多少?角加速度为多少?
d??4t 得 an?R?2?R(4t)2?16Rt2 (SI) dtd? (2 ) ???4 (SI)
dt解:(1)由 ??6、飞轮作匀减速转动,在 5s 内角速度由 40πrad/s 减到 10πrad/s ,则飞轮在这 5s 内总共转过了多少圈?飞轮再经过多少时间才能停止转动?
解:(1)飞轮作匀减速转动,所以有 ???0??t
则?????0t2?10??40???6?(rad/s2) 5又 ?2??0?2?? ?(10?)2?(40?)2?2?(?6?)? 得 ??375?(rad) 3飞轮总共转过 N?
?375???62.5(圈) 2?2??3(2)设飞轮再经过时间t停止
由 ???0??t 得0?10??(?6?)t 则t?1.67(s)
???7、在xy平面内有一运动质点,其运动学方程为:r?10cos5ti?10sin5tj(SI)
则t时刻其速度为多少?其切向加速度的大小a?为多少?该质点运动的轨迹是什么?
解:(1)v??dr?50(?sin5ti?cos5tj) dt(2)速率:v?vx?vy?(?50sin5t)2?(50cos5t)2?50,a??22222dv?0 dt(3)x?10cos5t,y?10sin5t两式平方后相加,x?y?10, 轨迹为一半径为10m的圆。
8、一条河在某一段直线岸边有A、B两个码头,相距 1km ,甲、乙两人需要从码头A到码头B,再立即由B返回。甲划船前去,船相对河水的速度 4km/h,而乙沿岸步行,步行速度也为 4km/h ,如河水流速为 2km/h ,方向从A到B,试推算甲比乙晚多少分钟回到码头A?
解:由A到B船对地的速度大小:v船地?v船水?v水地?4?2?6(km/h)
??v船水?v水地?4?2?2(km/h) 由B到A船对地的速度大小:v船地112??小时?40分钟 623111乙由A到B再回到A所需时间:t2???小时?30分钟
442甲由A到B再回到A所需时间:t1?所以甲比乙晚十分钟回到码头A 。
9、轮船在水上以相对于水的速度v1航行,水流速度为v0,人相对于甲板以速度v2行走。如人相对于岸静止,则v1、v2和v0的关系是怎样的?
???????????????解:v人地?v人甲?v甲地?v人甲?v甲水?v水地?v2?v1?v0?0 ?????? 即v1,v2,v0 的关系为:v0?v1?v2?0
1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?R(cosωti?sinωtj) 其中?为常量.求:(1)质点的轨道;(2)速度和速率。
解:1) 由r?R(cosωti?sinωtj)知 x?Rcosωt y?Rsinωt
消去t可得轨道方程 x?y?R 2) v?222
dr??ωRsinωti?ωRcosωtj dt2212 v?[(?ωRsinωt)?(ωRcosωt)]?ωR
1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?4ti?(3?2t)j,式中r的单位为m,t的单位为s.求:(1)质点的轨道;(2)从t?0到t?1秒的位移;(3)t?0和t?1秒两时刻的速度。 解:1)由r?4ti?(3?2t)j可知
22x?4t2 y?3?2t
消去t得轨道方程为:x?(y?3) 2)v?2
dr?8ti?2j dt1100Δr??vdt??(8ti?2j)dt?4i?2j
3) v(0)?2j v(1)?8i?2j
1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?ti?2tj,式中r的单位为m,t的单位为s.求:(1)任一时刻的速度和加速度;(2)任一时刻的切向加速度和法向加速度。
2dr?2ti?2j dtdv a??2i
dt解:1)v?2)v?[(2t)?4]212?2(t?1)2 at?2t?1221dv?dt2tt?12
an?a2?at2? 1-4. 一升降机以加速度a上升,在上升过程中有一螺钉从天花板上松落,升降机的天花板与底板相距为d,求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解:以地面为参照系,坐标如图,升降机与螺丝的运动方程分别为
12at (1) 图 1-4 212 y2?h?v0t?gt (2)
2 y1?v0t? y1?y2 (3) 解之 t?2dg?a 1-5. 一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出,求:
(1)小球的运动方程;
(2)小球在落地之前的轨迹方程; (3)落地前瞬时小球的
drdvdv,,. dtdtdt解:(1) x?v0t 式(1)
1y?h?gt2 式(2)
212 r(t)?v0ti?(h-gt)j
2gx2(2)联立式(1)、式(2)得 y?h?22v0 (3)
dr?v0i-gtj 而 落地所用时间 t?dt2h g 所以
v?drdv?v0i-2ghj ??gj dtdt22v2v0?(?gt)2 x?vy?g2ghg2tdv ??dt[v2?(gt)2]12(v2?2gh)12001-6. 路灯距地面的高度为h1,一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动,并求其速度v2.
证明:设人从O点开始行走,t时刻人影中足的坐标为x1 ,人影中头的坐标为x2,由几何关系可得 图 1-6
x2h?1 而 x1?v0t
x2?x1h2所以,人影中头的运动方程为 x2?h1x1h1t?v0
h1?h2h1?h2人影中头的速度 v2?dx2h1?v0 dth1?h221-7. 一质点沿直线运动,其运动方程为x?2?4t?2t过的路程为多少?
解:v?(m),在 t从0秒到3秒的时间间隔内,则质点走
dx?4?4t 若v?0 解的 t?1s dt ?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m
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