随机过程习题一

1. 某数字通讯系统在通信中传送一个二进码数，由于存在信道噪声，接受端不可能正确解

码. 令X为发送数，Y为解码数，设发送数字为0或1的概率为

P{X?0}?q?1?p,P{X?1}?p

再设发送数是0或1的条件下，解码数是0或1的条件概率为

P{Y?0|X?0}?p0,P{Y?1|X?0}?q0?1?p0； P{Y?0|X?1}?1?p1?q1,P{Y?1|X?1}?p1

求：（1）Y的分布律；（2）发生误码的概率.

2. 已知X~N(0,1),Y~N(0,1)且相互独立. 分别求如下Z的概率密度fZ(z).

（1）Z?X?Y；（2）Z?X?Y；（3）Z?（6）Z?max(X,Y)；（7）Z?min(X,Y)

3. 已知X~U(0,1),Y~U(0,1)且相互独立. 分别求如下Z的概率密度fZ(z).

（1） Z?X?Y；（2）Z?max(X,Y)；（3）Z?|X?Y|.

4. 已知X和Y相互独立都服从参数??1的指数分布. 设①U?X?Y，V?X?Y；②

U?X?Y，V?X/Y，求r. v. (U,V)的联合概率密度fUV(u,v)，并讨论U与V的独立

X；（4）Z?X2?Y2（5）Z?X2?Y2；Y性.

5. 已知X~N(0,1),Y~N(0,1)且相互独立. 设U?X2?Y2，V?概率密度fUV(u,v)，并讨论U与V的独立性. 6. 已知r. v.(X,Y)的联合概率密度

?1,|y|?x?1,f(x,y)??

0,其他.?X，求r. v. (U,V)的联合Y求：（1）fX(x),fY(y)；（2）讨论X与Y的独立性和相关性；（3）求条件数学期望E[X|Y]和E[Y|X].

7. （1）设随机变量X~U(0,?)，Y?sinX，求fY(y)

（2）设r. v.X~U(?,)Y?sinX，求fY(y)

228. 已知X~N(0,?2)求E[Xn]及E[|Xn|]

9. 设X1,X2,?,Xn是n个相互独立、同分布的随机变量，P{Xi?1}?p，

P{Xi?0}?q?1?p，i?1,2,?,n。令Sn????Xi?1ni，试求pn?P{Sn?偶数}。

10. 证明以下各题，其中C为任意常数，g为连续函数.

（1）E[X?C]2?E[X?E(X)]2?D(X)；

（2）E[Y?g(X)]2X?x?D[Y?E(Y|X?x)]2X?x?D[Y|X?x]； （3）D(X)?E[D(X|Y)]?D[E(X|Y)].

11. 设在底层乘电梯的人数服从均值为10的泊松分布，又设此楼共有N+1层，每一个乘客

在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的，求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值. 12. 设X1,X2,L,XN相互独立并且都与X同分布，Xk与N独立，k?1,2,?

Y??????Xk?1Nk

证明：

（1）E(Y)?E(N)?E(X)；

（2）D(Y)?E(N)D(X)?D(N)E2(X)； 13. 设X为取非负整数值的随机变量，证明

1）E(X)??P{X?k} 2）D(X)?2?k?p{X?k}?E(X)?[E(X)?1]

k?1k?1??14. 若X为取非负值的随机变量，EX存在，求证EX????0P(X?x)dx

15. 考虑股价波动的二项式模型，若现在某股票的股价为S，则过一个单位时间后，它的概

率P变为uS，以概率1-p变为dS，设每个时间段的价格波动是独立的，试计算经过1000个单位时间后股价至少上升30%的概率，其中u=1.02，d=0.980，p=0.52。 16. 设?(t)的特征函数，证明h(t)?e?(t)?1也为特征函数.