高三一轮复习导学案60 第10章 第03节 - 二项式定理

§10.3 二项式定理

1．二项式定理

________________________________________________________________________ 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ck式中的______________叫做二项n(k＝0,1,2，?，n)叫做____________．展开式的________，用Tk＋1表示，即展开式的第________项；Tk＋1＝____________. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为________．

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为________． (3)字母a按________排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按________排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

n1

(4)二项式的系数从________，C1n，一直到Cn，________.

－

3．二项式系数的性质

nm(1)对称性：与首末两端“__________”的两个二项式系数相等，即Cm. n＝Cn

－

(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当k<________时，二项式系数是递增的；当k>________时，二项式系数是递减的． 当n是偶数时，________________取得最大值．

当n是奇数时，中间两项____________和____________相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和

(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，；_________________________＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即________________________＝________________________＝__________. [难点正本 疑点清源] 1．二项式的项数与项

nkknkk(1)二项式的展开式共有n＋1项，Ckb是第k＋1项．即k＋1是项数，Ckbnana

－

－

是项．

nkk(2)通项是Tk＋1＝Ckb (k＝0,1,2，?，n)．其中含有Tk＋1，a，b，n，k五个元素，na

－

只要知道其中四个即可求第五个元素． 2．二项式系数与展开式项的系数的异同

nkk

在Tk＋1＝Ckb中，Cknan就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；Tk＋1项的系数

－

nkknkknkk指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，Tk＋1＝Ck·3xy，其中Ck3n2n2

－

－

－

就是Tk＋1项的系数．

1．(x－2y)7的展开式中第3项的二项式系数是________．

2

x－?7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答) 2．(2011·广东)x??x?3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．

a

4．(2011·山东)若(x－2)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．

x

1

3x－?n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为 ( ) 5．若?x??A．－5

B．5

C．－405

D．405

题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数

?x＋1?n

例1 在二项式?4?的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有

2x??理项和二项式系数最大的项．

探究提高 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．

?31???n的展开式中，第6项为常数项． x－ 已知在?3??2x?

(1)求n；

(2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．

题型二 二项式系数和或各项的系数和的问题 例2 在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．

探究提高 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数

f(1)＋f(－1)f(1)－f(－1)

之和为a0＋a2＋a4＋?＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋?＝. 22

已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋?＋a9(x＋1)9＋a10(x＋

1)10，其中ai(i＝0,1,2，?，10)为实常数．

10

10

求：(1)∑an的值；(2)∑nan的值． ＝＝

n1

n1

题型三 二项式定理的应用

例3 (1)求证：1＋2＋22＋?＋25n1 (n∈N*)能被31整除；

－

(2)求S＝C127＋C227＋?＋C2727除以9的余数．

探究提高 利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理．

求证：

(1)32n2－8n－9能被64整除(n∈N*)；

＋

(2)3n>(n＋2)·2n1 (n∈N*，n>2)．

－

12.混淆二项展开式的项与项数

以及二项式系数与项的系数致误 2

试题：(12分)已知(x－2)n (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是

x10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

3

(2)求展开式中含x的项；

2

(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项． 学生错解展示

审题视角 (1)审条件，构建关于n的方程求n.

3

(2)审要求，可利用“赋值法”求各项系数之和；利用通项公式确定含x的项数；确定

2系数最大的项数和二项式系数最大项的项数，再求项． 规范解答

解 由题意知，第五项系数为C4n·(－2)4，

C4n·(－2)4102

第三项的系数为C2n·(－2)，则有＝，

C2n·(－2)21化简得n2－5n－24＝0， 解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. ?－22?r (2)通项公式Tr＋1＝Cr8·(x)8－r·?x?

8－r

＝Cr8·(－2)r·x－2r，

2

8－r3令－2r＝，则r＝1，

22

33

故展开式中含x的项为T2＝－16x.

22Cr＋18·2r＋1，

若第r＋1项的系数绝对值最大， －

?2r1≤Cr8·2r，?Cr－18·则?，解得5≤r≤6. r＋1r

?Cr＋18·2≤Cr8·2?

[4分]

[8分]

(3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为Cr－18·2r－1，Cr8·2r，

又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792x

－11

.

－

由n＝8知第五项二项式系数最大，此时T5＝1 120x6. 的有关概念．

[12分]

批阅笔记 (1)本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同；项数和项的不同． (3)本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别.

方法与技巧

1．通项公式最常用，是解题的基础．

2．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对k的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性．

nk4．性质1是组合数公式Ckn＝Cn的再现，性质2是从函数的角度研究二项式系数的单

－

调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．

5．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．