三升四火箭班奥数暑假讲义

三升四奥数训练（4）

四、等差数列求和

1基本概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前面的一项的差都相等，就称这个数列为等差数列，项、首项、末项、公差—后项与前项差。

2.基本关系式。总和=（首项＋末项）×项数÷2 ， 项数=（末项－首项）÷公差＋1 第n项=首项＋公差×（n－1）。 例1.求下列各数列各有多少项。

2，5，8，??65，68.观察此数列可知：它是等差数列，公差是3。（68－2）÷3＋1=23 答：此数

列有23项。

练：已知等差数列7，11，15，??，195。问：这个数列共有多少项？

因为公差为4. 所以（195－7）÷4＋1=48 答：此数列共有48项。 讲与练：求下面数列中各数之和。

2＋5＋8＋??＋65＋68 此数列公差为3，则：（68－2）÷3＋1=23?项数 （2＋68）×23÷2=805

练：求等差数列5，8，11??前21项之和。

5＋3×（21－1）=65?第21项（末项） （5＋65）×21÷2=735. 3. 等差数列的应用。

例：有20个朋友聚会，见面时如果每个人都和其他人握手1次，这20个人，一共握手多少次？ 想：甲和其余

19人各握手一次，共19次，乙已和甲握手，再和其它人握手1次共18次，??照此推算，第19人只能和第20人握手1次。

1＋2＋3＋??＋19=(1＋19)×19÷2=190(次) 答:一共握手19次。

练：如果参加宴会的每一个人都和其它人握手一次，宴会结束时，统计出一共握手28次，问：参加宴会的一共

有多少人？

可以这样想：从上例可知倒数第2人只主动和倒数第1人握手1次，从而从总握手次数中逐步减去握手人主

动握手次数至0，再加一人就行了。

28－1－2－3－4－5=13，13－6－7=0 5＋2＋1=8（人） 答：参加宴会的有8人

讲与练：电影院有13排座位，后一排总比前一排多4个座位，最后一排有90个座位。问：这个电影院共有多少

个座位？

90－4×（13－1）=42（个）?首排 （注意：13排座位有12个公差） (42＋90)×13÷2=858(个) 答：这个电影院共有858个座位

三升四奥数练习（4） 1.计算

（1）1＋3＋5＋??197＋199=10000 （2）81＋79＋??＋13＋11=1656

（199－1）÷2＋1=100?项数 （81－11）÷2＋1=36?项数 （1＋199）×100÷2=10000 (81＋11)×36÷2=1656

2.某市举行数学竞赛，比赛前规定，前15名可以获奖。比赛结果：第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人，??，第十五名并列15人。问：获奖的一共有多少人？ （1＋15）×15÷2=120（人） 答：获奖的一共有120人。

3 某电影院有25排座位，后一排总比前一排所2个座位，最后一排有70个座位。问：这个电影院一共有多少个座位？

70－24×2=22(个)?首排

（22＋70）×25÷2=1150（个）

答：这个电影院一共有1150个座位。

4数1，2，3，4，??叫做非零自然数。如果三个紧邻的自然数之和是45，那么，紧跟它们后面的三个自然数的和是多少？

因为45÷3=15 则和为45的三个紧邻自然数分别位：14，15，16 所以紧跟它们之后的三个紧邻自然数就是17，18，19， 17＋18＋19=54 答：这三个自然数的和是54. （方法不唯一）

5如果参加聚会的每个人都和其它人握手1次，聚会结束时，统计出一共握手36次。问：参加聚会的有多少人？ 36－1－2－3－4－5－6－7－8=0 8＋1=9（人） 或：借等差数列求和方法算。 设参加人数为n。

36=（n＋1）×n÷2 36×2=72 72=8×9 答：参加聚会人数是9人。

所以得数是9. 三升四奥数训练（5）

五、巧添运算符号

1方法与技巧

计算：试验、合理组和、逆推。

例：添上＋、－、×、÷、（ ）、{ }等符号，使1 2 3 4 5=1成立。

用逆推法想，从最后结果是1，可知5的前面应添除号或减号。如果添除号，则前面四个数应组成5.如果添减号前面四个数应组成6.通过试验，计算得

[(1＋2)÷3＋4]÷5=1 [(1＋2)×3－4]÷5=1 (1＋23)÷4－5=1 练：填上＋、－、×、÷、（ ），使下面等式成立。（题里数的顺序不能改变）。

（1）1＋2＋2×4－5=10 （2）（1＋2）÷3＋4＋5=10 最后一步可以是加，乘或减。 （教师可在学生独立思考，解答后，评讲或个别指导） 2.凑“24”

例：用下列各组数凑成24，（组内数的顺序可以改变）

4，3，9，12 4×（12＋3－9）=24 （9－4－3）×12=24 想：4乘6得24，就把其它三个数组成26 想：12和2相乘得24?? 练与讲：用下列各组数凑成24.

9、10、11、12. 5、5、5、5. 2、4、6、13

12＋11＋（10－9）=24 5×5－5÷5=24 13×2－6＋4=24 3.添括号。

例：在下面式子中加上括号，使等式成立。

7×9＋12÷3－2=23 （7×9＋12）÷3－2=23 四则混合运算规定，先乘除后加减，因 7×9＋12÷3－2=75 （7×9＋12）÷（3－2）=75 此添括号时着重先考虑加减符号及步骤 4.组和

例 ：在123456789的某些数字之间分别添上加号，减号，使所得式子的值等于100.

如果在每两数之间都都添上加号和才45，由此必须对数字进行组和。想8和9组成89最接近100，那么其它几个数只要组成11就行了。

12＋3＋4＋5－6－7＋89=100 或 1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9=100

练：借上例训练学生重新组和：123＋4－5＋67－89， 123＋45－67＋8－9

练与讲：下面式子中左边有12个2，在适当位置添上＋、－、×、÷、（ ）使等式成立。

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2=2000 2222－222＋（2－2）×2×2×2=2000

三升四奥数练习（5） 学生

1. 请在下面式子中相邻两数之间填上＋、－、×、÷符号，使等式成立。

1×2＋3×4＋5×6＋7=51 2＋3×4＋5×6＋7×1=51 3×4＋5×6＋7＋1×2=51 4＋5＋6×7＋1＋2－3=51

2.把下面每组数中的四个数，凑成24.

1、1、5、7 7、3、5、7

（1＋1）×（5＋7）=24 （3－1）×（5＋7）=24

2、2、8、8 5、8、11、12

（8＋8÷2）×2=24 （5＋8－11）×12=24

3.在下面（ ）中分别填入＋、－、×、÷（每种符号只能使用一次），使等式成立。 1991（×）1（＋）9（－）9（÷）1=1991

4. 在下面算式中合适的地方，添一个括号，使等式成立。 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9=303 （1＋2×3＋4×5＋6）×7＋8×9=303

5. 在下面各数中进行组和，再添上＋、－、×、÷、（ ）等，使等式成立。

(1)5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5=1994 5555÷5＋555＋(55×5)＋55－(5＋5)÷5=1994 (2)4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4=2000 444×4＋44×4＋44＋4÷4－4=2000