【数学】2014-2018年高考数学(理)五年真题分类第十章 圆锥曲线与方程

c2513.（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有2?，

a9又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得， FB?a， AB?2b， 由FB?AB?62，可得ab=6，从而a=3，b=2．

x2y2??1． 所以，椭圆的方程为94（Ⅱ）设点P的坐标为（1，y1），点Q的坐标为（2，y2）． 由已知有y1>y2>0，故PQsin?AOQ?y1?y2． 又因为AQ?y2π，而∠OAB=，故AQ?2y2．

sin?OAB4由

AQPQ?52sin?AOQ，可得5y1=9y2． 46ky? 消去，可得． y12??1，9k?4942y?kx，由方程组{x2易知直线AB的方程为+y–2=0， 由方程组{y?kx，2k 消去，可得y2?．

x?y?2?0，k?12由5y1=9y2，可得5（+1）=39k?4， 两边平方，整理得56k2?50k?11?0，

111，或k?． 228111所以，的值为或 ．228解得k?

14.（2017?江苏,17）如图，在平面直角坐标系Oy中，椭圆E： 左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为

=1（a＞b＞0）的

，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，

且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

14.（1）设椭圆的半焦距为c.

2a21c1?8， 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以?， c2a2解得a?2,c?1，于是b?a?c?3，

22x2y2??1. 因此椭圆E的标准方程是43（2）由（1）知， F,0?. 1??1,0?， F2?1设P?x0,y0?，因为点P为第一象限的点，故x0?0,y0?0. 当x0?1时， l2与l1相交于F1，与题设不符. 当x0?1时，直线PF1的斜率为

y0y0，直线PF2的斜率为. x0?1x0?1?x0?1x?1，直线l2的斜率为?0， y0y0因为l1?PF1， l2?PF2，所以直线l1的斜率为

从而直线l1的方程： y??x0?1?x?1?， ① y0直线l2的方程： y??x0?1?x?1?. ② y022??1?x01?x0由①②，解得x??x0,y?，所以Q??x0,?.

yy00??21?x02222?y0?1. ?y0?1或x0因为点Q在椭圆上，由对称性，得??y0，即x0y022x0y0??1. 又P在椭圆E上，故4322x0?y0?1由{x204?y?1320 ，解得x0?4737,y0?； {x2y2 ，无解.

0077??14322x0?y0?1因此点P的坐标为??4737?

?7,7????

x2y2

15.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E：＋＝1的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为(>0)

t3的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. (1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，求的取值范围.

x2y2

15.解 (1)设M(1，y1)，则由题意知y1>0.当t＝4时，E的方程为＋＝1,A(-2,0).

43π

由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为. 4因此直线AM的方程为y＝＋2.

x2y21212

将＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，解得y＝0或y＝，所以y1＝.

437711212144

因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝. 27749

x2y2

(2)由题意t>3，>0，A(－t，0)，将直线AM的方程y＝(＋t)代入＋＝1得(3＋t2)2＋2t·t2

t3＋t22－3t＝0.由

t2k2－3tt（3－tk2）

得1＝， 1·(－t)＝3＋tk23＋tk21＋k2＝

6t（1＋k2）

.

3＋tk2

故|AM|＝|1＋t|

6kt（1＋k2）1

由题设，直线AN的方程为y＝－(＋t)，故同理可得|AN|＝. k3k2＋t2k

由2|AM|＝|AN|得＝，即(3－2)t＝3(2－1)，

3＋tk23k2＋t3k（2k－1）3

当＝2时上式不成立，因此t＝. k3－2

k3－2k2＋k－2（k－2）（k2＋1）k－2

t>3等价于＝<0，即<0.

k3－2k3－2k3－2

???k－2>0，?k－2<0，3

由此得?3或?3解得2<<2.

?k－2<0，??k－2>0，?

3因此的取值范围是(2，2).

x2y2

16.(2016·四川，20)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角

ab形的三个顶点，直线l：y＝－＋3与椭圆E有且只有一个公共点T. (1)求椭圆E的方程及点T的坐标；

(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值. x2y2

16.(1)解 由已知，a＝2b，则椭圆E的方程为2＋2＝1.

2bbxy??2b2＋b2＝1，

由方程组?得32－12＋(18－2b2)＝0.①

??y＝－x＋3，方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，

x2y2

此时方程①的解为＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2，1).

631

(2)证明 由已知可设直线l′的方程为y＝＋m(m≠0)，

2

1??x＝2－3，?y＝2x＋m，2m2m8

2－，1＋?.|PT|2＝m2. 由方程组?可得?所以P点坐标为?33??92m??y＝－x＋3，?y＝1＋3.设点A，B的坐标分别为A(1，y1)，B(2，y2).

2m

2

2

?

由方程组?可得3＋4m＋(4m－12)＝0.②

1

?y＝2x＋m，

2

2

x2y2

＋＝1，63

方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)， 3232

由Δ>0，解得－

224m2－124m

由②得1＋2＝－，12＝.

33所以|PA|＝

22?2－2m－x1?＋?1＋2m－y1?＝5?2－2m－x1?，同理|PB|＝5?2－2m－x2?.

3333??????2?2?

2m5?2m

2－－x1??2－－x2?? 所以|PA|·|PB|＝?33????4??5??2m?2?2m??

＝?2－? 2－－（x＋x）＋xx12124??3??3??