当前位置：首页 > 孙子兵法-数学破题36计
【例3】 关于函数f (x)=2x-2-x (x∈R).有下列三个结论：①f (x)的值域为R; ②f (x)是R上的增函数；③对任意x∈R, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上).
?2x?【解答】 由y
1?2x(2x)2-y22x-1=0.
关于2x的方程中，恒有Δ=y2+4>0. ∴y∈R ①真.
?∵y1=2x, y2=∵f (-x)=2
?x12x都是R上的增函数，∴y=y1+y2=2x-2?x也是R上的增函数，②真.
?x-2x = -(2x-2)=-f (x),
∴当x∈R时，恒有f (x)+f (-x)=0（即f (x)为R上的奇函数) ③真.
【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.
正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选. 本例是“全选”（即“都是”）的题型.
●对应训练
x2y2??1761.设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi (i=1,2,3,?),使|FP1|，|FP2|,|FP3|
,?,组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .
●参考答案
1.椭圆中：a=7, b=6, c=1.
1∴e =
17,设Pi的横坐标为xi, 则|FPi|=7(7-xi), 其中右准线x=7.
|FPn|?|FPx?xn1|?1.n?17(n?1) ∵|FPn|=|FP1|+(n-1)d. ∴d=
21∵|x1-xn|?27, ∴|d|?n?1. 已知n?21, ∴|d|?10, 但d≠0.
11∴d∈［-10，0)∪(0，10］.
点评：本题有两处陷沟，一是d≠0, 二是可以d<0, 解题时考生切勿疏忽. 第11计 耗子开门 就地打洞 ●计名释义
《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结
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果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽. 庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.
数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧. ●典例示范
【例1】 已知f (x)=1?2x，判定其单调区间.
【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.
【解答】 设x1 331?2x - 31?2x. 【插语】 x1，x2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”. 【续解】 31?2x1?31?2x2 [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)] (31?2x1?31?2x2)(3(1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3(1?2x2)2)=易知 33(1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3(1?2x2)2=△>0. (1?2x1)2?3(1?2x1)(1?2x2)?3(1?2x2)22(x1?x2)?故有原式=<0. 故f (x)= 31?2x的增区间为（-∞,+∞). 【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础， 可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷. 【例2】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数. （Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望； （Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ?1”的概率. 【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了. C314?35;P(ξC【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）=612C2C1314C24?C2??3355，故ξ的分布列是： CC66=1)=；P (ξ=2)= ξ P （Ⅱ）ξ的数学期望是： 0 1 2 15 35 15 131Eξ=035+135+235=1. 第 30 页 共 129 页 4(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ?1的概率是：P（ξ?1）=P (ξ=0)+P(=1)=5. 【例3】 （042上海，20文）如图， 11直线y=2x与抛物线y=8x2 - 4交于A、B两点， 线段AB的垂直平分线与直线y= -5交于点Q. (1)求点Q的坐标； （2）当P为抛物线上位于AB下方 （含点A、B）的动点时， 求△OPQ的面积的最大值. 【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图 思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误. 12?y?x?4,??8?x2?4x?32?0.??y?1x?2【解答】 （1）由? x1?x21?22设AB中点为M（x0，y0），则x0 =，y0=2x0=1. 故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5 ). (2)由（1）知|OQ|=52为定值. 1?8AB设P(x，x2-2)为抛物线上上一点，由（1）知x2-4x-32?0，得x∈［-4,8］，又直线OQ的方程为： x+y=0，点P到直线OQ的距离： |x?d= 12x?2||(x?4)2?48|8?282，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠43-4，为使△POQ面积 最大只须d最大，当x=8时，dmax =62. 11∴(S△POQ)max =22|OQ|2dmax=2252262=30. 【例4】 O为锐角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差数列，求tanA2tanC的值. 【解答】 如图，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA. 不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A, ∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C， 第 31 页 共 129 页 11则有：2sinα+2sinγ=sinβ， 即sin2A+sin2C=2sin2B. 2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. 例4题解图 ∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C). ∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0. 3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3. 【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的. ●对应训练 1.在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中， O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在 棱CC1上，且CC1= 4CP. (Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所 成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）设O点在平面D1AP上的 射影是H，求证：D1H⊥AP； （Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图 1?2.证明不等式： 12?13???1n?2n (n∈N+). 1?23?3??22???????sinx?cosx??sinx????,????2?424??3?，f (x)=??3.设x∈?4，求f (x)的最大值与最小值. ?1??1??1??1???1????1???x??y??z?的最小值. 4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函数u=? ●参考答案 1.建立如图的空间直角坐标系，有： A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)连BP，∵AB⊥平面BCC1B1. ∴AB⊥BP，∠APB是直线AP与平面BB1C1C的夹角，∵|BP|=4?1?17. 2|AB|∴tan∠APB=|BP|?41717. 41717∴AP与平面BB1C1C所成角为arctan. (Ⅱ)连D1B1，则O∈DB1. ∵D1B1=（4,4,0)，AP=（-4,4,1）, ∴D1B12AP=-16+16+0=0. 第 32 页 共 129 页 搜索更多关于： 孙子兵法-数学破题36计 的文档
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