当前位置：首页 > 孙子兵法-数学破题36计
P5P有xP3=P5?x=3=534=20.
【评说】 别解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.
第6计 勇士开门 手脚咚咚 ●计名释义
一个妇女立在衙门前的大鼓旁边，在哭. 一勇士过来问其故.妇女说：“我敲鼓半天了，衙门还不开.” 勇士说：“你太斯文，这么秀气的鼓捶，能敲出多大声音？你看我的！”说完，勇士扑向大鼓，拳打脚踢. 一会儿，果然衙门大开，衙役们高呼：“有人击鼓，请老爷升堂！”
考场解题，何尝不是如此：面对考题，特别是难题，斯文不得，秀气不得，三教九流，不拘一格. 唯分是图，雅的，俗的，一并上阵.
●典例示范
?????,???4y3?sinycosy?a?0则cos (x+2y)4?, a∈R，且x3?sinx?2a?0,?【例1】 已知x,y∈?4,?的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【思考】 代数方程中渗入了三角函数，不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多的形似之处，能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢？
3??x?sinx?2a?0??(?2y)3?sin(?2y)?2a?0?解：由条件得：
????????t???2,?2???????. ∴x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根
【插语】 这是勇士之举，采用手脚并用，谁会想到用方程根来解决它呢?
?????,??3?y?t,y2?sint均为增函数，而-2a为常数.∴22??设f (t)=t3+sint-2a. 当t∈时，1????f(t)是??,???22?上的单调增函数.
∵f (x)= f (-2y)=0.
∴只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 选B.
【点评】 想到方程根使所给2个式子合二为一，是本题一个难点之一；判断函数是单调函数又是一个难点.
【例2】 已知向量a= (cosθ,sinθ),向量b=(3,-1) ， 则 |2a - b| 的最大值、最小值分别是( ) A.42,0 B.4,22 C.16,0 D.4,0
22x?y?1上运动时，延OA到C，使|OC|=2|OA|=2a, 求【解答】 如图，点A(cosθ,sinθ)在圆
|OC?OB|的最值，
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显然|OC|?|OB|?2.当OC1与OB 反向时有最大值4,OC2与OB同向时有
最小值0. ∴选D. 【点评】 本例
解题思想很简单，谁不知道“三角形两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边”呢， 例2题解图 为求极值，我们的勇士勇敢地到极地——当 △BOC不复存在时，才有可能取得.
【例3】 设f (x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0，且g(-3)=0, 则不等式f (x)g(x)<0的解集是 ( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
【解答】 设F(x)= f (x)g(x), 当x<0时，∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0. ∴F(x)在R上为增函数.
∵F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)2g (x).=-F(x). 故F(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数. ∴F(x)在R上亦为增函数.
已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.
构造如图的F（x）的图象，可知 例3题解图 F(x)<0的解集为x∈(-∞,-3)∪(0,3). 【点评】 本例选自042湖南卷12题, 是小题中的压轴题，显然，不懂得
导数基本知识对待本例是无能为力的，高中
代数在导数中得到升华，导数也是初数的“极地”.本题还构造了图形，使问题更有说服力.
●对应训练
1.下列命题正确的是 ( ) A.若{an}和{bn}的极限都不存在，则{an+bn}的极值一定不存在 B.若{an}和{bn}的极限都存在，则{an+bn}的极限一定存在 C.若{an+bn}的极限不存在，则{an}和{bn}的极限都一定不存在
D.若{an+bn}的极限存在，则{an}和{bn}的极限要么都存在，要么都不存在
2.过定点M (-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是 （ ）
A.0 ?1??11lim??2???n?n??xxx?的值是 ( ) ?3.若(1-2x )9展开式的第3项为288，则 12A.2 B.1 C.2 D.5 第 18 页 共 129 页 ●参考答案 1.D (正反推证）若{an+bn}:1,1,1,1,?的极限存在而推出{an}:0,1,0,1,0,1?,{bn}:1,0,1,0,1,0?,极限都不存在，但若{an}:1,1,1,1?,{bn}:0,0,0,0?,极限又都存在，故D正确，同理可排除A、B、C. 2.A （数形并用）如图，以C (-2,0)为圆心， r=3为半径的⊙C交x、y正半轴于A（1,0）, B (0,5), 而M (-1, 0)在⊙C内部， ?AB当N∈时，显然，kMN>kMA=0; kMN 第2题解图 29T3=C 3.A 312(-2x)2=36 (2x)2=288， ∴2 2x=8， x=2, x=3∈(0,1). 232121?n3=2. 选A. ∴数列{x}是首项与公比均为3的无穷递缩等比数列.原式= 第7计 模特开门 见一知众 ●计名释义 一时装模特，在表演时，自己笑了，台下一片喝彩声. 她自感成功，下去向老板索奖. 谁知老板不仅没奖，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的. 模特表演是不能笑的. 试想，模特一笑，只能显示模特本人的特色，谁还去看她身上的服装呢？所以，模特一笑，特在模掉！ 数学的特殊性（特值）解题，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），这样，才能做到“一点动众”. 特值一旦确定，要研究的是特值的共性. 选择题中的“特值否定”，填空题中的“特值肯定”，解答题中的“特值检验”，都是“一点动众”的例子. ●典例示范 【例1】 如果0 13121令a=2,各选项依次化为： （ ） 3?1??1?log?0?????12?2? B. 2A．?2? 1312第 19 页 共 129 页 ?1??3???????2? D. C．?2?32?1????1?2? 32显然，有且仅有A是正确的，选A. 【点评】 本题是一个选择题，因此可以选一个模特数代表一类数，一点动众. y?log1x你还需要讲“道理”吗？ 32023?log1?11y?()x2也是减函数，2为减函数，log20,B不对； 12?1??1???????1?2??2?,D不对；直接计算，C也不对；只有A是对的. 【例2】 已知定义在实数集R上的函数y=f (x)恒不为零，同时满足:f (x+y)=f (x)2f (y),且当x>0时，f (x)>1,那么当x<0时，一定有 （ ） A．f (x)<-1 B.-1 【点评】 题干中的函数抽象，先选定特殊的指数函数使之具体，而指数函数无穷无尽地多，索性再特殊到底，选定最简单且又符合题意的函数y=2x, 这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找出了正确答案.在考场上分分秒秒值千金，你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗？ 【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = ［f (0)2 ( f (x)≠0), 则f (0)=1, f(x)?f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即 1f(?x), 当x<0时，-x>0. 由条件：f (-x)>1, 故x<0时, 0< f (x)<1. ?【例3】 若A, B, C是△ABC的三个内角，且A A.sinA 【思考】 本题的模特是取特殊角. 令A=30°, B= 45°,C=105°, 则cosC<0,tanC<0,cotC<0.B、C、D都不能成立.故选A. 【点评】 此题用常法论证也不难，但是谁能断言：本解比之常法不具有更大的优越性呢？ ●对应训练 1.设f (x)=1+5x-10x2+10x3-5x4+x5, 则f (x)的反函数的解析式是 （ ） ?1?15f(x)?1?xf(x)?1?5x?2 A． B. ?1?155f(x)??1?x?2f(x)?1?x?2 C． D. 2.下列命题中，命题M是命题N的充要条件的一组是 （ ） ?A．M:a?b.N:ac2?bc2. ?d.N?:a?d?b?c. 第 20 页 共 129 页 ?B.M:a?b,c搜索更多关于： 孙子兵法-数学破题36计 的文档
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