孙子兵法-数学破题36计

高考数学解题破题36计

第1计 芝麻开门 点到成功 ●计名释义

七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.

数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.

●典例示范

1rrC(n?1)Cnn［例题］将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一

个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可

以看出

111??rr(n?1)Cn(n?1)CnxnCn?1，其中x? .

an?令n??111111???????223123060nCn(n?1)Cn?1，则

liman? .

［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.

1莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点1的主意.

11111???rrxr2(n?1)Cn(n?1)C(n?1)CnCnnn?1［解Ⅰ］ 将等式与右边的顶点三角形对应（图右），自然有

1x(n?1)Cn?121

rnCn?1?11

对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1

对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.

［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.

1第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项3.

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11111an??????31230603［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项，并将和数列 中的各项依次“以点

111连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项3左上角的那个2. 因为2在向下

一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.

因此得到n??

liman?12 这就是本题第2空的答案.

13［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线——三角形

1中的实线，实线上端折线所对的那个数2就是问题的答案.

1 事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从20这个数开始，向左下连线（无穷射线），111111?????12 所连各数之和（的极限）就是20这个数的左上角的那个数12. 用等式表示就是2060140

［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.

111??rr?1ra(n?1)C(n?1)CnCnnn?1知，可用合项的办法，将n的和式逐步合项. ［法1］ 由an?11111??????2231230nCn(n?1)Cn?1

??1111111??????????22221?13C24C325C4nCn(n?1)Cn(n?1)Cn(n?1)Cn?1?? ?

?11111?1?????????221?1?nC23C24C325C4?n?1nCn?1?(n?1)Cn

?11?11111?????????21111?3C?(n?1)C3C2C(n?1)C2(n?1)n22n??1n

?12

［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即

an?11111??????012n?3n?23C24C35C4nCn(n?1)Cn?1根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一

11n?1(n?1)Cn，项则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为2，

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?1?1111??liman?lim??an??n?1n?122n??n???(n?1)Cn?2(n?1)C??n故，从而

111??r?1rr(n?1)CnC(n?1)Cx?r?1nn?1n［法3］ （2）将代入条件式，并变形得

取r?1,令n?2,3,?,n,?得

11111111??????3(2?1)C22C13C12112(3?1)C33C124C3， 212

1111???21130(4?1)C44C35C4 ? ? ?

111111????211211nCn(n?1)CnnCnnCn(n?1)Cn?1?1?1 (n?1)Cn?1

an?以上诸式两边分别相加，得

11?2n(n?1)1?2

［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到

“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.

●对应训练

x2y2??125161．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的

垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，?，P7七个点，F是椭圆的一个焦

点，则|P1F|+|P2F|+??+|P7F|=_______.

2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，

CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为 .

●参考解答

1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.

连接P1F2 、P2F2 、?、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10 如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = ? =FP7 + P7F2 = 7310 = 70 由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35. 2．找“点”——动点P、Q的极限点.

如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合. 则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1 .

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显然

VC—A 1B 1C 1?13V棱柱.

1VC—A 1B 1C 1VC—AA 1B 1B2∴∶= 1于是奇兵天降——答案为2.

［点评］ “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.

第2计 西瓜开门 滚到成功

●计名释义

比起―芝麻‖来，―西瓜‖则不是一个―点‖，而一个球. 因为它能够―滚‖，所以靠―滚到成功‖. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的―触面‖.

数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想―滚动‖一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.

●典例示范 ［题1］

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f ?（x）?0，则必有 A. f（0）＋f（2）< 2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2 f（1） C. f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D. f（0）＋f（2）?2f（1）

［分析］ 用五种数学思想进行―滚动‖，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.

其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.

［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件. （ii）若f＇(x)不恒为0时. 则f＇(x)?0时有x?1，f（x）在（x）在???,1?上为减函数. 此时，选项C、D符合条件. 综合（i），（ii），本题的正确答案为C.

［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f＇(x) ?0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.

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?1,??上为增函数；f＇(x)?0时x ?1. 即f