(完整word)高中数学1.4.2正弦、余弦函数的性质周期性学案新人教A版必修4

广东省佛山市顺德区罗定邦中学高一数学 必修四1.4.2正弦、余弦函

数的性质周期性学案

【学习目标】

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；

能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 【重点、难点】

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 自主学习案 【知识梳理】 一、复习引入：

1．问题：今天是星期一，则过了七天是星期 ？过了十四天呢 ？…… 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变量x 函数值sinx ?2? ?0 3?? ?? ? 220 0 ? 21 ? 0 3? 2? 21 0 ?1 ?1 0 y

– 1

x ????? 5? ?2? ?5? 2? ? O

22

?1 –

正弦函数f(x)?sinx性质如下：（观察图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2 规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现） 3 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明

符号语言：当x增加2k?（k?Z）时，总有f(x?2k?)?sin(x?2k?)?sinx?f(x)．

３．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有： 那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 问题：

（1）对于函数y?sinx，x?R有sin(?6?2?2??)?sin，能否说是它的周期？

336*（2）正弦函数y?sinx，x?R是不是周期函数，如果是，周期是多少？ （3）若函数f(x)的周期为T，则kT，k?Z也是f(x)的周期吗？为什么？ 说明：

1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx的最小正周期为2 （一般称为周期）

从图象上可以看出y?sinx，x?R；y?cosx，x?R的最小正周期为2?； 判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （f(x)?c没有最小正周期） 【预习自测】

1.函数y?sin4x的最小正周期为 （ ）

A. 2? B. ? C. ? D. ? 2.函数

y?cos(?x?)(??0)的最小正周期是2，则是（ ）

3A. ? B. ? C. 3? D. 2?

223.若

?2?4f(x?3)?f(x)对x?R都成立，且f(1)?5,则f(16)?___________________.

【我的疑问】 合作探究案

【例题探究】

例1 求下列三角函数的周期： ①y?3cosx ②y?sin2x（3）y?2sin(x?12?6)，

x?R．

变式 求下列三角函数的周期： （１）y=sin(x+

x??) （２） y=cos2x （３）y=3sin(+) 325

例2 已知函数

f(x)是以2为周期的偶函数，且当x?(0,1)时，f(x)?2x?1,求

f(log210)的值。

思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？ 说明：（1）一般结论：函数y?Asin(?x??)及函数y?Acos(?x??)，x?R（其中A,?,?

为常数，且A?0，??0）的周期T?2??；

（2）若??0，如：①y?3cos(?x)； ②y?sin(?2x)； ③y?2sin(?则这三个函数的周期又是什么？

1? x?)，x?R．

26一般结论：函数y?Asin(?x??)及函数y?Acos(?x??)，x?R的周期T?2?

|?|【当堂检测】

1.下列函数中，最小正周期为π的函数是 （ ）

x B.x C.y?cosx D.y?cos2x

y?cos222.函数的最小正周期为 （ ） ?y?4sin(?2x?)?13A.

y?sinA. ? B. ? C. 2? D. 4?

2课后练习案

1.函数

的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是（ ） k?y?cos(x?)(k?0)43A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 2.定义在R上的函数

x?[0,]2?2f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是?，且当

?时，

3A. 1 B. 1 C.

f(x)?sinx,则f(5?)的值为 （ ）

23 D. 3 ?22

3.已知函数

11y?cosx?cosx.22（1）画出函数的简图；

（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期.

4.已知定义在R上的函数y=f(x)的局部图像如图所示。 (1)求函数的周期;(2)画出函数y=f(x+1)的图像；（3）你能写出y=f(x)的解析式吗？

5设有函数

f(x)?asin(kx?)和函数g(x)?bcos(2kx??)(a?0,b?0,k?0),若它们的最小

362,?正周期之和为3?且

6.设

f()?g(),f()??3g()?1,2244????求这两个函数的解析式.

f(x)是R上的奇函数，f(x?2)??f(x),当x?[0,2]时，f(x)?2x?x2.

f(x)是周期函数；

f(x)的解析式；

（1）求证：

（2）当x?[2,4]时，求（3）计算

f(0)?f(1)?f(2)?L?f(2010).