2014年天津市高考数学试卷（理科）

2014年天津市高考数学试卷（理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分） 1．（5分）（2014?天津）i是虚数单位，复数A．1﹣i B．﹣1+i

C．

+

i D．﹣

+

=（ ） i

2．（5分）（2014?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的

最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（5分）（2014?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）

A．15

B．105 C．245 D．945

（x﹣4）的单调递增区间为（ ）

D．（﹣∞，﹣2）

2

4．（5分）（2014?天津）函数f（x）=logA．（0，+∞）

B．（﹣∞，0）

C．（2，+∞） ﹣

5．（5分）（2014?天津）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：

y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ） A．

﹣

=1

B．

﹣

=1

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C．﹣=1 D．﹣=1

6．（5分）（2014?天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：

①BD平分∠CBF；

②FB=FD?FA； ③AE?CE=BE?DE； ④AF?BD=AB?BF．

所有正确结论的序号是（ ）

2

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 7．（5分）（2014?天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．（5分）（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，A．

=λB．

，

=μ

，若D．

?

=1，

?

=﹣，则λ+μ=（ ）

C．

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生． 10．（5分）（2014?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m．

3

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11．（5分）（2014?天津）设{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 ． 12．（5分）（2014?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为 ．

13．（5分）（2014?天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为 ．

2

14．（5分）（2014?天津）已知函数f（x）=|x+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 ．

三、解答题（共6小题，共80分）

15．（13分）（2014?天津）已知函数f（x）=cosx?sin（x+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣

，

]上的最大值和最小值．

）﹣

cosx+

2

，x∈R．

16．（13分）（2014?天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 17．（13分）（2014?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：BE⊥DC；

（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

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18．（13分）（2014?天津）设椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶

点为A，上顶点为B，已知|AB|=

|F1F2|．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率． 19．（14分）（2014?天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnq，xi∈M，i=1，2，…n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；

（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anq，t=b1+b2q+…+bnq，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．

x

20．（14分）（2014?天津）设f（x）=x﹣ae（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．

（Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）证明：

随着a的减小而增大；

n﹣1

n﹣1

n﹣1

（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．

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