实变函数复习题（学生用）

实变函数复习题

一、填空题

?1??1. 设Ai??0,1??,i?1,2,?.则?Ai? .

i??i?12. 若A??, B??, 则A?B? 。

3. 给出(?1,1)与(??,??)之间的一一对应关系 . 4. 设E?{(x,y)?R:x?y?1}, 则E?? 。 5. 设E?(1,3)?(2,6)，写出E的所有的构成区间 。 6. 设E?Rn,若 ,则称E是开集. 7. 设E?Rn,若 ,则称E是闭集.

8. 设E1,E2为可测集，且E2?E1,mE2???，则m(E1?E2)? 。 9. 设x0为E的内点，则mE 0。(填大于、等于或小于) 10. 设Q是有理数集，则mQ? 。 11. 设I为Rn中的开区间，则mI? 。

12. 设C是Cantor集，则mC? 。

13. 叙述可测函数的四则运算性 。 14. 叙述可测函数与简单函数的关系 。 15. (鲁津定理)设f(x)是E上a.e.有限的可测函数,则???0,存在闭子集F??E,使

*222*f(x)在 上是连续函数,且m(E?F?)??.

16. 叙述伯恩斯坦定理 。

17．叙述可测集与开集的关系 。 18. 叙述测度的可数可加性 。 19. 叙述叶果洛夫定理 。

20. 叙述fk(x)在可测集E上几乎处处收敛于f(x)的定义 。 21. 叙述中开集的结构定理 。

22. 叙述R中的集合E是Lebesgue可测集的卡氏定义(即C.Caratheodory定义) 。

23. 叙述测度的可数可加性 。 24. 叙述可测函数的定义 。

n25. 叙述F.Riesz定理(黎斯定理) 。

二、单选题

1. E是实数全体，则E是 ( )

A. 可数集； B.不可数集； C.有限集； D.不可测集. 2. 有限个可数集的并集是 ( )

A.可数集； B.不可数集； C.有限集； D.以上都不对. 3. 若A是有限集或可数集,B是不可数集, 则 ( )

A. A?B是可数集； B. A?B是不可数集；

C. A?B??0； D. A?B?A.

4. 设G????是一族开集,G???G?, 则G一定是 ( ) ????A. 开集; B. 闭集; C. G?型集; D. 开集，也是闭集.

5. 点集E?Rn的全体边界点所成的集合称为E的 ( )

A. 开核; B. 边界; C. 导集; D. 闭包.

6. 设F????是一族闭集,F???F?,则F一定是 ( ) ????A.开集; B.闭集; C.F?型集; D. 开集，也是闭集. 7. 设?Fn?是一列闭集,F??Fn?1?n,则F一定是 ( )

A.开集; B.闭集; C.F?型集; D. 开集，也是闭集. 8. 设Q是?中有理数全体，则mQ? ( ) A.0; B.??; C.1; D.不存在.

9. 关于Cantor集P,下述说法不成立的是

A. P无内点; B. P中的点都为孤立点; C. P中的点都为聚点; D. P是闭集.

10. 设E是任一可测集, 则 ( ) A.E是开集; B．E是闭集;

C.???0,存在开集G?E,使得m(G?E)??; D．E是F?型集或G?型集. 11. 设?En?是一列可测集合,且E1?E2???En??,则有 ( )

1??????A.m??En??limmEn; B. m??En??limmEn;

?n?1?n???n?1?n????????C. m??En??limmEn; D. m??En??limmEn.

?n?1?n???n?1?n??12. 设?En?是一列可测集合,且E1?E2???En??,mE1???,则有 ( )

??????A.m??En??limmEn; B. m??En??limmEn;

?n?1?n???n?1?n????????C. m??En??limmEn; D. m??En??limmEn.

?n?1?n???n?1?n??13. 关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 ( ) A. 简单函数一定是可测函数; B. 简单函数列的极限是可测函数;

C. 简单函数与可测函数是同一概念; D. 简单函数列的极限与可测函数是同一概念.

14. 设?fn(x)?是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列, 则下述命题错误的是( )

A．sup?fn(x)?是可测函数;

n B．inf?fn(x)?是可测函数;

n??f(x)(依测度收敛), 则f(x)是可测的; C. 若fn(x)????f(x)(依测度收敛), 则fn(x)? f(x) a.e. 于E. D．若fn(x)??15. 若f(x)是连续函数，则它必是. ( )

A. 可测函数； B. 单调函数； C.简单函数； D.连续函数列的极限. 16. 设f(x)??mes.mes.x?E?x,其中E是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可

?x,x?[0,1]?E???测的是 ( ) A.|f(x)|； B.f(x)； C.f(x)； D.f(x)。

17. 设f(x)是可测集E上的可测函数,则对任意的实数a,有 ( ) A．E(f?a)是闭集; B．E(f?a)是开集;

C. E(f?a)是零测集; D．以上都不对.

18. 设f(x)是定义在E上的实值函数.令f(x)?max?f(x),0?,

?f?(x)?max??f(x),0?, 则下述哪个说法不成立的是 ( )

A．f(x)与f(x)都是定义E上的非负函数;

????B．f(x)?f(x)?f(x),f(x)?f(x)?f(x);

??C. E(f??0)?E(f??0)??;

??D．f(x)在E上可测?f(x)与f(x)都在E上可测.

19. 设?fn(x)?是可测集E上的几乎处处有限的可测函数,则下述命题中错误的是( ) A．sup?fn(x)?是可测函数; B．inf?fn(x)?是可测函数;

nnC. 若fn(x)?f(x),则f(x)是可测的; D．若fn(x)?f(x),则fn(x)? f(x). 20. 设在可测集E上fn(x)?f(x),fn(x)?g(x). 则 ( )

A.f(x)?g(x),x?E; B. f(x)?g(x),x?E;

C. f(x)?g(x)a.e.于E; D.

?Ef(x)dx??g(x)dx.

E21. 设f(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)是 ( )

A. f(x)在E上基本一致连续; B. f(x)在E上几乎处处连续;

C.存在简单函数列??n(x)?使?n(x)?f(x)a.e于E; D. mE(f???)?0. 22. 集合E的全体内点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

23. 集合E的全体聚点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

24. 集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

25. E?E＇所成的集合是 ( ) A、开核 B、边界 C、外点 D、{E的全体孤立点}

26. E的全体边界点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

27. 设E是?0,1?上有理点全体，则下列各式不成立的是（ ）

（A）E?[0,1] (B) E?? (C) E=[0，1] (D) mE?1

28. 若{An}是一开集列，则?An是： （ ）

n?1?'o