点线面的关系—教师版

启智明德，优享未来！

在Rt△BC′D中,C′G=

BC'?C'D33. ?BD2=

∴OG=

C?G2?C?2C'O3?22, .∴tan∠C′GO=

OG2即二面角C′BDA的正切值为2

2.

例16 如图15,三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值.

图15

解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，过A作AN⊥平面BCC1B1，垂足为N，则AN⊥平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）,在平面BCB1内过N作NQ⊥棱B1C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角. ∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CA⊥AB， ∴CA⊥B1A.AB=BB1=1，得AB1=

2.∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°，B1C=2. 2.∴AQ=1.

63.sin∠AQN=

在Rt△B1AC中，由勾股定理,得AC=

在Rt△BAC中，AB=1，AC= 练习：

2，得AN=

AN6=AQ3,即二面角BB1CA的正弦值为

63.

如图16，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2(1)证明：AM⊥PM； (2)求二面角PAMD的大小.

2，M为BC的中点.

图16 图17

(1)证明：如图17,取CD的中点E，连接PE、EM、EA, ∵△PCD为正三角形,∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=

3.∵平面

PCD⊥平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD.∵四边形ABCD是矩

形,∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形.由勾股定理可求得EM=

3，AM=6，AE=3,

∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM.又EM是PM在平面ABCD上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM.

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(2)解:由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM,

∴∠PME是二面角PAMD的平面角.∴tan∠PME=∴二面角PAMD为45°.

PE3=1.∴∠PME=45°. ?EM3