点线面的关系—教师版

启智明德，优享未来！

图10

（1）画出l的位置；

（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长.

解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，则平面DMN与平面A1C1的交线为QN. QN即为所求作的直线l.如图10. （2）设QN∩A1B1=P,

∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1,∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N,∴A1P=

12D1N=

14C1D1=

14a.

∴PB1=A1B1－A1P=a? 练习

13a?a. 44 画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线. 解：如图11,分别连接并延长线段EF、BD，

图11

∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P. ∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线.

三、平行关系（包括线面平行，面面平行）

1.线面平行：

①定义：直线与平面无公共点.

a//b??②判定定理：a????a//?（线线平行?线面平行）

b??????③性质定理：a????a//b（线面平行?线线平行）

????b??2.线面斜交：

a//?l???A P①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平

A??O启智明德，优享未来！

面内射影的夹角。【如图】 范围：??

例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面. 已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点. 求证：EF∥面BCD. 证明：如图3,连接BD,

PO??于O，则AO是PA在平面?内的射影， 则?PAO就是直线PA与平面?所成的角。

注：若l??或l//?，则直线l与平面?所成的角为0?；若l??，则直线l与平面?所成的角为90?。 ?0?,90??，

图3

EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.

练习：

如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.

图4

MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线. 证明：如图5,

画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中

图5

.

所以,BC∥平面MNEF.

例2 如图6，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.

启智明德，优享未来！

图6

求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG. 证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.

在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.又EF?面EFG，AC?面EFG,∴AC∥面EFG. 同理可证BD∥面EFG. 练习：

已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α. 证明：如图7,连接AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连接PQ.

图7

∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心， ∴

AMAN?=2.∴MN∥PQ. MPNQ

又PQ?α，MN?α,∴MN∥α.

例题3 设P、Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如图8, （1）证明PQ∥平面AA1B1B； （2）求线段PQ的长.

图8

(1)证法一：取AA1,A1B1的中点M,N,连接MN,NQ,MP, ∵MP∥AD,MP=

11AD,NQ∥A1D1,NQ=A1D1,∴MP∥ND且MP=ND. 22∴四边形PQNM为平行四边形.∴PQ∥MN.

∵MN?面AA1B1B,PQ?面AA1B1B,∴PQ∥面AA1B1B.

证法二：连接AD1,AB1,在△AB1D1中,显然P,Q分别是AD1,D1B1的中点,

启智明德，优享未来！

∴PQ∥AB1,且PQ=

1

AB1.∵PQ?面AA1B1B,AB1?面AA1B1B,∴PQ∥面AA1B1B. 2

(2)解:方法一:PQ=MN=

A1M2?A1N2?2a. 2方法二：PQ=练习：

12AB1?a. 22 如图9，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E=BF.

图9

求证：EF∥平面BB1C1C.

证明：连接AF并延长交BC于M，连接B1M. ∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB.∴

AFDF?FMBF.

又∵BD=B1A，B1E=BF,∴DF=AE.∴

AFDF?FMBF.

∴EF∥B1M，B1M?平面BB1C1C.∴EF∥平面BB1C1C.

例4 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.

图4

(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线与面AC是什么位置关系？

解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，

图5

并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.则EF、BE、CF就是应画的线.

(2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.由（1）知，EF∥B′C′，