最新-2018届高考数学二轮专题复习系列(9)立体几何新人教版 精品

再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE， 故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.

235a,OD=a,斜边DE=a,

222OD?OE30则由面积关系得OM=a ?DE10OH30在Rt△OHM中，sinOMH= ?OM630故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin.

6在Rt△DOE中，OE=

【例3】 如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.

求：(1)AC1的长；

(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.

解:(1)|AC1|2?AC1?AC1?(AA1?AC)(AA1?AC)?(AA1?AB?AD)(AA1?AB?AD)?|AA1|2?|AB|2?|AD|2?2AA1?AB?2AA1?AD?2AB?AD由已知得:|AA1|2?b2,|AB|2?|AD|2?a2?AA1,AB???AA1,AD??120?,?AB,AD??90?11?AA1?AB?b?acos120???ab,AA1?AD?b?acos120???ab,AB?AD?0,22?|AC1|2?2a2?b2?2ab,?|AC1|?2a2?b2?2ab.(2)依题意得,|AC|?2a,AC?AB?ADBD1?AD?BA?AA1?AD?AB?AC?BD1?(AB?AD)(AA1?AD?AB)?AB?AA1?AD?AA1?AB?AD?AD2?AB2?AB?AD??ab|BD1|2?BD1?BD1?(AA1?AD?AB)(AA1?AD?AB)?|AA1|2?|AD|2?|AB|2?2AA1?AD?2AB?AD?2AA1?AB?2a2?b2

?|BD1|?2a2?b2

cos?BD1,AC??BD1?AC|BD1||AC|??b4a?2b22 .

∴BD1与AC所成角的余弦值为

b4a?2b22D1A1B1C1【例4】 长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，

AA1?2，E是侧棱BB1中点．

EDABC（1）求直线AA1与平面A1D1E所成角的大小； （2）求二面角E?AC1?B的大小； （3）求三棱锥A?C1D1E的体积．

解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面A1D1E的一条垂线．不难发现，AE正为所求．

由长方体ABCD?A1B1C1D1知：D1A1?面ABB1A1，又AE?面ABB1A1，所以，

D1A1?AE．

在矩形ABB1A1中，E为BB1中点且AA1?2，AB?1，所以，AE?A1E?以，?A1AE为等腰直角三角形，EA1?AE．

所以，AE?面A1D1E．

所以，?A1AE就是直线AA1与平面A1D1E所成的角，为45?．

（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利

2，所

用三垂线定理（或逆定理）将其作出．

注意到AB?面B1BCC1，所以，面ABC1?面B1BCC1，

D1A1GEDABFCB1C1所以，只需在面B1BCC1内过点E作EF?BC1于F，则

EF?面ABC1．

过F作FG?AC1于G，连EG，则?EGF就是二面角

E?AC1?B的平面角．

在?EBC1中，EF?2S?EBC1BC1?EB?C1B15?， BC15

所以，C1F?C1E2?EF2?35． 5AB30?． AC110在?ABC1中，FG?C1F?sin?FC1G?C1F?在Rt?EFG中，tan?EGF?EF6． ?FG3

所以，二面角E?AC1?B的平面角的大小为arctan6． 3（3）要求三棱锥A?C1D1E的体积，注意到（2）中已经求出了点E到平面AC1D1的距

离EF．所以，

VA?C1D1E?VE?AC1D1?111S?AC1D1?EF?AD1?CD1?EF?． 366

另一方面，也可以利用等积转化．

因为AB//D1C1，所以，AB//面C1D1E．所以，点A到平面C1D1E的距离就等于点B到平面C1D1E的距离．所以，

VA?C1D1E?VB?C1D1E?VD1?EBC1?111S?EBC1?D1C1?EB?C1B1?D1C1?． 366

【例5】 如图，已知PA?面ABC，AD?BC于D，BC?CD?AD?1。 （1）令PD?x，?BPC??，试把tan?表示为x的函数，并求其最大值； （2）在直线PA上是否存在一点Q，使得?BQC??BAC？

解：（1）为寻求tan?与x的关系，首先可以将?转化为?PCD??PBD。 ∵ PA?面ABC，AD?BC于D， ∴ PD?BD。 ∴tan?PCD?PD?x,DCtan?PBD?PDx?。 BD2BCDAP∴ tan?xx?2?x。 ?tan??PCD??PBD??xx2?21?x?2∵ AD为PD在面ABD上的射影。 ∴ PD?AD?1，即x?1。

∴ tan??xx2?2?1x?2x?122?2。 4即tan?的最大值为

2，等号当且仅当x?2时取得。 4（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得

tan?BQC?tan?BAC。

tan?BAC?tan??ACD??ABD??令tan??xx2?2?1。 31，解得：1?3x?2，与x?1交集非空。

∴ 满足条件的点Q存在。

【例6】 如图所示：正四棱锥P?ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为

6。（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小； 2（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值； （3）在侧面PAD上寻找一点F，使得EF?侧面PBC。试确定点F的P位置，并加以证明。

解：（1）连AC,BD交于点O，连PO， 则PO⊥面ABCD，

∴ ∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角， ∴ tan∠PAO=

6。 23。 2ABDEC设AB=1，则PO=AO?tan∠PAO =

设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，?PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角。

在Rt?PFO中，tan?PFO?∴ ?PFO??3PO?3， FO。即面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为

? 3（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，EO//?1PD。 2∴?EOD就是异面直线PD与AE所成的角。