人教版高中数学必修4-3.2《简单的三角恒等变换(第1课时)》教学设计

●活动3 使用辅助角公式注意事项：

①在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为辅助角公式理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角

②此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如活动1中的那个例子：

?1?1?3?3?cos，那么此时表达式就变为： y?2?sinx?cosx?，可视为?sin,26262?2????????y?2?sinsinx?coscosx?，使用两角差的余弦公式：y?2cos?x??

666????所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式.

??????当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但y?2cos?x??与y?2sin?x??本质

6?3???是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用）

③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的?来代替，再在旁边标注?的一个三角函数值. 【设计意图】让学生掌握记忆公式的同时，归纳总结公式适用的条件，培养学生分析问题和解决问题的能力．

活动4 巩固基础，检查反馈

例1：化简下列三角函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式：

???(1)y?sinx?cos?x?? （2）y?sin2x?2cosxsinx?2

6??【知识点】辅助角公式

【数学思想】转化化归的数学思想 【解题过程】（1）?y?sinx?3113???cosx?sinx?sinx?cosx=sin?x?? 22223??1?cos2x51?sin2x?2??(cos2x?sin2x) 222（2）y?sin2x?2cosxsinx?2??1255 ,cos???sin?2x???其中sin??22551?cos2?1?cos2????【思路点拨】（1）将cos?x??打开 （2）用公式cos2??降幂 ,sin2??226??55???【答案】（1）sin?x?? （2）y??sin?2x???

223??同类训练 把函数y?cos4x－2sinxcosx?sin4x化成y＝Asin(ωx＋φ)+B的形式. 【知识点】三角恒等变换. 【数学思想】转化化归的数学思想

【解题过程】y＝cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos4x－sin4x)－2sinxcosx ＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝2(?＝2(sin2xcos3?3?3??cos2xsin)＝2sin(2x?). 44422sin2x?cos2x) 22【思路点拨】使用降幂公式及两角和差的正余弦公式化简三角函数式． 【答案】2sin(2x?3?)． 4●活动5 强化提升、灵活应用

?例2 已知函数f(x)＝sin2x＋asinxcosx－cos2x，且f()?1.

4(1)求常数a的值及f(x)的最小值；

???(2)当x??0,?时，求f(x)的单调增区间．

?2?【知识点】三角恒等变换及三角函数的性质. 【数学思想】转化化归的数学思想．

?【解题过程】(1)∵f()?1，

4ππππ

∴sin24＋asin4cos4－cos24＝1，解得a＝2.

?∴f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝2sin(2x?).

4ππ

当2x－4＝2kπ－2(k∈Z)，

π?即x＝kπ－8(k∈Z)时，sin(2x?)有最小值－1，则f(x)的最小值为－2.

4πππ

(2)令2kπ－2≤2x－4≤2kπ＋2(k∈Z)， π3π

整理得kπ－8≤x≤kπ＋8(k∈Z)； 3π???又x??0,?，则0≤x≤8. ?2??3??∴f(x)的单调增区间是?0,?

?8?【思路点拨】利用相应三角公式进行三角恒等变换，在对函数y?Asin(?x??)的性质进行研究

?3??【答案】(1) a＝2 (2)?0,?.

?8??????????同类训练 已知函数f?x??cos?2x???2sin?x??sin?x?? 求函数f?x?在区间

3?4??4????????,?的值域 ??122?【知识点】三角恒等变换及三角函数的性质. 【数学思想】转化化归的数学思想．

?????????【解题过程】f?x??cos?2x???2sin?x??sin?x??

3?4??4?????2??2?1322 cos2x?sin2x?2?sinx?cosxsinx?cosx???????2222?2??2?13cos2x?sin2x?sin2x?cos2x 221331cos2x?sin2x?cos2x?sin2x?cos2x 2222??????sin?2x??

6?????3????5???????Qx???,??2x????,??f?x??sin?2x?????,1?

6?36?6??2??122??【思路点拨】将2x?范围

?3?【答案】??,1?

2???6视为一个整体，先根据x的范围求出2x??6的范围，再判断其正弦值的

例3 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为

?3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形

的内接矩形，记?COP?? ，问当角?取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.

Q D ?C

O

A

B P

【知识点】三角恒等变换及三角函数性质. 【数学思想】数学建模与转化化归的数学思想.

【思路点拨】（1）找出S与?之间的函数关系，（2）由得出的函数关系，求S的最大值 【解题过程】

DA在Rt?OBC中，OB?cos?,BC?sin?.在Rt?OAD中，?tan60o?3.

OA所以OA?333DA?BC?sin?,333所以AB?OB?OA?cos??3sin?. 3设矩形ABCD的面积为S,则S?AB?BC?(cos??332sin?)sin??sin?cos??sin? 331313131?3?sin2??(1?cos2?)?(sin2??cos2?)??sin(2??)?. 262666323