人教版高中数学必修4-3.2《简单的三角恒等变换(第1课时)》教学设计

3.2简单的三角恒等变换

3.2.2简单的三角恒等变换（第1课时）（李蓉）

一、教学目标 （一）核心素养

这节课通过三角恒等变换在数学中应用的举例，进一步加深理解变换思想，提高学生的推

理能力，通过数学实例的解决，促进学生对函数模型多样性的理解，提升学生数学建模的能力. （二）学习目标

1．理解并掌握辅助角公式. 2.会利用公式进行简单的恒等变形.

3.体会三角恒等变形在数学中的应用.能通过数学建模解决实际问题. （三）学习重点

1通过三角恒等变换推导辅助角公式．

2．灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.

（四）学习难点

灵活运用三角公式解决一些实际问题.

二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务

（1）写一写：复习三角恒等变换的一系列公式及回忆相应公式的使用依据.

cos??????cos?cos?sin?sin?；cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2? sin??????sin?cos??cos?sin?；sin2??2cos?sin?

sin2??1?cos2?1?cos2?；cos2??,（降幂公式） 22（2）填一填：阅读教材140页例3.把下列式子化成一个角的三角函数

asinx?bcosx?2．预习自测

a2?b2sin(x??)

（1）sinx?cosx等于（ ）

???A．sin2x B．2sin(x?) C．2sin(x?) D．sin(x?)

444【知识点】辅助角公式

【数学思想】转化化归的数学思想 【解题过程】

?2?2???????sinx?cosx?2??2sinx?sinx?cosx?2cossinx?sincosx??? ???2?4244????????absin??cos??，【思路点拨】一般地，先提公因式asin??bcos??a2?b2?22a2?b2?a?b?再令cos??aa?b22,sin??ba?b22，可得：

asin??bcos??a2?b2?cos?sin??sin?cos??

最后利用两角和差的正余弦公式进行合角：asin??bcos??a2?b2sin?????． 【答案】C．

（2）函数y?sin2xcos2x的最小值等于________． 【知识点】二倍角公式

111【解题过程】y?sin2xcos2x??2sin2xcos2x?sin4x，故ymin??．

222【思路点拨】牢记二倍角公式的形式． 【答案】?12

（3）函数y?sin2x?sinxcosx?1的最小正周期是________，最小值是________． 【知识点】二倍角公式

【数学思想】转化化归的数学思想 【解题过程】y?sin2x?sinxcosx?1?3?2． 21?cos2x12??3??sin2x?1?sin?2x???，故最小正2224?2?周期是T??，最小值是【思路点拨】将函数化为y?Asin??x???的形式，牢记利用二倍角公式进行降次的三种形式：

11?cos2?1?cos2?①sin?cos??sin2?，②sin2??,③cos2??．

222【答案】最小正周期是T??，最小值是3?2． 2 1???（4）已知sin??cos??，则sin2????等于（ ）

3?4?A．

1178 B． C． 18189D．2 9【知识点】二倍角公式

【数学思想】转化化归的数学思想

118【解题过程】由sin??cos??两边平方得1?2sin?cos??，解得sin2???，

399???1?cos??2??????2??1?sin2??17． 所以sin2?????2218?4?18【思路点拨】由sin??cos??平方可得sin2???，牢记利用二倍角公式进行降次的三种形

3911?cos2?1?cos2?式：①sin?cos??sin2?，②sin2??,③cos2??．

222【答案】B． (二)课堂设计 1．知识回顾

（1）两角和差的正余弦公式. （2）二倍角公式及变形. 2．问题探究

探究 公式asin??bcos??a2?b2sin????? 的变形过程. ●活动1 公式asin??bcos??a2?b2sin?????的理论基础. 你能把函数f(x)?sinx?3cosx化成f?x??Asin??x???的形式吗？ 引导学生操作如下三步：

?1?3①y?2?sinx?cosx?

2?2?②

1?3??????cos,?sin?y?2?cossinx?sincosx? 232333?????③y?2sin?x??

3??若把x?吗？

?1?1?3?3由y?2?sinx??cos，那么此时表达式就变为： cosx?，若令?sin,26262?2??3看成一个角，你还能把函数f(x)?sinx?3cosx化成别的一个角的三角函数形式

???????y?2?sinsinx?coscosx?，使用两角差的余弦公式：y?2cos?x??

666????在上述两种变换过程中使用了两角和差的正余弦公式

【设计意图】连续两个问题的提出让学生动手进行简单的三角恒等变换，既让学生体会到变换结果的不唯一性，也让学生感受从特殊到一般的数学归纳推理方法． ●活动2 公式asin??bcos??a2?b2sin?????的推导

满足“同角（均为?），齐一次，正余全”这样三个特点，形如asin??bcos?的式子，能否将其化为f?x??Asin??x???的形式?

如果遇到了符合以上三个条件的式子，可以通过以下三步： ①一提：提取系数：a2?b2，表达式变为：

??abasin??bcos??a?b?sin??cos??

2222a?b?a?b?22????ab②二找：由?，如??1，故可看作同一个角的正余弦（称?为辅助角）?222?2??a?b??a?b?cos??aa?b2222,sin??ba?b22，可得：

asin??bcos??a2?b2?cos?sin??sin?cos??

③三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：asin??bcos??a2?b2sin????? 常常称该公式为辅助角公式.

【设计意图】通过公式的推导可以加深学生对公式的记忆与利用.在尝试之后对辅助角公式的特点有一个加深的认识.