六年级奥数 - 蝴蝶模型 燕尾定理练习题 教案

蝴蝶模型和燕尾定理练习题

1、如图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.

AEFFAEFAEBDCBDCBDC

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以

初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

(法一)连接CF，因为，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，

11所以S△ABE?S△ABC?10，S△ABD?S△ABC?15．

32SSAE1BD?，BD?DC△ABF??1, 根据燕尾定理，△ABF?S△CBFEC2S△ACFCD

1所以S△ABF?S△ABC?7.5，S△BFD?15?7.5?7.5，

4所以阴影部分面积是30?10?7.5?12.5．

1 (法二)连接DE，由题目条件可得到S△ABE?S△ABC?10，

3AFS△ABE1112??， S△BDE?S△BEC??S△ABC?10，所以

FDS△BDE1223111111 S△DEF??S△DEA???S△ADC????S△ABC?2.5，

22323221 而S△CDE???S△ABC?10．所以阴影部分的面积为12.5．

32112、(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在△ABC中，CP?CB，CQ?CA，BQ与AP相交于

23点X，若△ABC的面积为6，则△ABX的面积等于 ．

CCQXABAPQXBCPQ41XA14PB 【解析】 方法一：连接PQ．

11211由于CP?CB，CQ?CA，所以S?ABQ?S?ABC，S?BPQ?S?BCQ?S?ABC．

2332621由蝴蝶定理知，AX:XP?S?ABQ:S?BPQ?S?ABC:S?ABC?4:1，

3644122所以S?ABX?S?ABP??S?ABC?S?ABC??6?2.4．

55255方法二：连接CX设S△CPX?1份，根据燕尾定理标出其他部分面积，

所以S△ABX?6?(1?1?4?4)?4?2.4

3、如图所示，在四边形ABCD中，AB?3BE，AD?3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边形BODC的面积为________．

AF2A4F8O6D6CEOCDBE1

B

【解析】 连接AO,BD,根据燕尾定理S△ABO:S△BDO?AF:FD?1:2,S△AOD:S△BOD?AE:BE?2:1,设

S△BEO?1,则其他图形面积，如图所标，所以SBODC?2SAEOF?2?12?24.

4、ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是_________平方厘米．

DCDCGFGF

【解析】 连接AC、GB，设S△AGC?1份，根据燕尾定理得S△AGB?1份，S△BGC?1份，则

S正方形?（1?1?1）?2?6份，SADCG?3?1?4份，所以SADCG?122?6?4?96(cm2)

AEB

AEB 5、（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且

11AE?AB，CF?BC，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则?AEG与?CGF的面积

34之和为 ．

AEGBFCDAEHBDAEGDGFC

【解析】 (法1)如图，过F做CE的平行线交AB于H，则EH:HB?CF:FB?1:3，

1所以AE?EB?2EH，AG:GF?AE:EH?2，即AG?2GF，

212231所以S?AEG???S?ABF???S?ABCD?10．

3394222311且EG?HF??EC?EC，故CG?GE，则S?CGF?1??S?AEG?5．

23342所以两三角形面积之和为10?5?15． (法2)如上右图，连接AC、BG．

根据燕尾定理，S?ABG:S?ACG?BF:CF?3:1，S?BCG:S?ACG?BE:AE?2:1，

1而S?ABC?S?ABCD?60，

23121所以S?ABG?，S?ABC??60?30，S?BCG?，S?ABC??60?20，

3?2?123?2?1311则S?AEG?S?ABG?10，S?CFG?S?BCG?5，

34所以两个三角形的面积之和为15．

6、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？

BFC

AD377AEx+3ED73F7xB3F77CBC

【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的

计算.

再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．

设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF?FE，再连结DE． 所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，

则x:?3?3??AD:DB??x?10?:10，所以x?15，四边形的面积为18．

方法二：设S△ADF?x，根据燕尾定理S△ABF:S△BFC?S△AFE:S△EFC,得到S△AEF?x?3，再根据向右下飞的燕子，有(x?3?7):7?x:3，解得x?7.5四边形的面积为7.5?7.5?3?18

7、如下图，正方形 ABCD 的面积是a ，正三角形BPC 的面积是 b，求阴影三角形BPD 的面积．

【分析】 连接 AC交 BD于O 点，并连接PO ．如图所示，

可得P O/ / DC ，所以三角形DPO 与三角形 CPO 面积相等(同底等高)，所以有: ??

8、已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?

【分析】 连接FC，有FC平行BD，设BF与DC连接于O，那么在梯形蝴蝶中有

S?DFO?S?BCO 1S阴影=S?DCB=SABCD=502ADGFEBE=4，那么FC的

9、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，

BC

长度是多少?

BADFCE因

【分析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，

:F?C:BE?C4D:1?6,所以为AB平行于CD,所以BFFC?10?4 ?.81?410、四边形ABCD和四边形CEFG是两个正方形，BF与CD相交于H,已知CH:DH=1:2, S?BCH?6,求五边形ABEFD的面积。

【分析】因为CH:DH=1:2，所以S?BCH:S?BHD?1:2,即S?BHD=2×6=12 S?BCD?18,所以正方形ABCD面积为36，BC=6 又S?BCH?6，所以CH=2

连接CF,由蝴蝶定理得：S?DFH?S?BCH?6

设小正方形边长为a，则2a?6得a?3 S?S?ABCD?S?CEFD?S?DFG=6×6+3×3＋（6-3）×3÷2=49.5

11、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积．

ADGHFBCEAEDAEOFGDFGB

CBC

【分析】 设BD与CE的交点为O，连接BE、DF．

由蝴蝶定理可知EO:OC?S?BED:S?BCD，而S?BED?1S?4ABCD，S?BCD?1S?ABCD，所以21S?1:2，故EO?EC． ?BCD31 由于F为CE中点，所以EF?EC，故EO:EF?2:3，FO:EO?1:2．由蝴蝶定理可知

211S?BFD:S?BED?FO:EO?1:2，所以S?BFD?S?BED?S?ABCD，

28EO:OC??BSED:那么S?BGD?

111S?BFD?S?ABCD??10?10?6.25（平方厘米）． 21616

CP、BC?7,AE?5，12、点E、且DQ、若AD?5，M分别为直角梯形ABCD两边上的点，ME彼此平行，

EB?3．求阴影部分的面积．

AQEBP

DMAQECBPDMC

【分析】 连接CE、DE．由于DQ、CP、ME彼此平行，所以四边形CDQP是梯形，且ME与该梯形

的两个底平行，那么三角形QME与DEM、三角形PME与CEM的面积分别相等，所以三角形PQM的面积与三角形CDE的面积相等．而三角形CDE的面积根据已知条件很容易求出来．

由于ABCD为直角梯形，且AD?5，BC?7,AE?5，EB?3，所以三角形CDE的面积的面

111积为：?5?7???5?3???5?5??3?7??25．所以三角形PQM的面积为25．

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