2011-2013年高中数学竞赛初试及加试试题（含答案）

一、填空题（每小题8分，共64分） 1．设集合A?{a1,a2,a3,a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B?{?1,3,5,8}，则集合A? ．

2．函数f(x)?3．设

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x2?1的值域为 ． x?1为正实数，

11??22，(a?b)2?4(ab)3，则logab? ． ab4．如果cos5??sin5??7(sin3??cos3?)，??[0,2?)，那么?的取值范围是 ．

二、解答题（本大题共3小题，共56分）

9．（16分）设函数f(x)?|lg(x?1)|，实数a,b(a?b)满足f(a)?f(?求a,b的值．

10．（20分）已知数列{an}满足：a1?2t?3(t?R且t??1)，

an?1(2tn?1?3)an?2(t?1)tn?1?(n?N*)． nan?2t?1b?1)，f(10a?6b?21)?4lg2，b?2（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若t?0，试比较an?1与an的大小．

1x2y211．（本小题满分20分）作斜率为的直线l与椭圆C：??1交于A,B两点（如图所

3364示），且P(32,2)在直线l的左上方．

（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；

（2）若?APB?60?，求△PAB的面积．

y P O A x B

加 试

1. （40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点．若?BPA??DPA，证明：?AQB??CQB．

2.（40分）证明：对任意整数n?4，存在一个n次多项式

f(x)?xn?an?1xn?1???a1x?a0

具有如下性质：

4.（50分）设A是一个3?9的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个

m?n(1?m?3,1?n?9)方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个1?1的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值。

2011全国高中数学联赛解答

1．【答案】{?3,0,2,6}.

【解析】提示：显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以

3(a1?a2?a3?a4)?(?1)?3?5?8?15，

故a1?a2?a3?a4?5，于是集合A的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合A?{?3,0,2,6}．

4．【答案】???5??,?. 【解析】提示：不等式cos5??sin5??7(sin3??cos3?) ?44?等价于sin3??sin5??cos3??cos5?. 又f(x)?x3?1717?5?15(k?x是(??,??)上的增函数，所以sin??cos?，故2k?????2k??447??5??,?． 44??Z)．因为??[0,2?)，所以?的取值范围是?

5．【答案】15000.

【解析】提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：

1（1）有一个项目有3人参加，共有C73?5!?C5?5!?3600种方案；

1（2）有两个项目各有2人参加，共有(C72?C52)?5!?C52?5!?11400种方案；

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所以满足题设要求的方案数为3600?11400?15000．

7．【答案】(1,?2)或(9,?6)．

【解析】提示： 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(t2,2t)，由?y1?y2?8，y1?y2??4．

?x?2y?1?0,得 y2?8y?4?0，则2?y?4x,又x1?2y1?1,x2?2y2?1，所以x1?x2?2(y1?y2)?2?18，

x1?x2?4y1?y2?2(y1?y2)?1?1．

因为?ACB?90?，所以CA?CB?0，即有(t2?x1)(t2?x2)?(2t?y1)(2t?y2)?0， 即t4?(x1?x2)t2?x1?x2?4t2?2(y1?y2)t?y1?y2?0， 即t4?14t2?16t?3?0， 即(t2?4t?3)(t2?4t?1)?0．

显然t2?4t?1?0，否则t2?2?2t?1?0，则点C在直线x?2y?1?0上，从而点C与点A或