导热理论-热传导原理

q??b?t1?t2??1.556?1650?300??5677W/m2

0.37设壁厚x处的温度为t，则由式4-6可得 q??x?t1?t?

qx故 t?t1???1650?5677x?1650?3649x 1.556上式即为平壁的温度分布关系式，表示平壁距离x和等温表面的温度呈直线关系。

（2）导热系数按变量计算，由式4-5得 q???dtdt?dt ????0?a?t????0.815?0.007t6dxdxdxt2t1或 －qdx=（0.815+0.0076t）dt 积分 ?q?b0dx???0.815?0.00076t?dt

0.0007622?t2?t1? （a） 2得 ?qb?0.815?t2?t1?? q?0.815?1650?300??0.00076?16502?3002??5677W/m2 0.372?0.37当b=x时，t2=t，代入式（a），可得 ?5677x?0.815?t?1650??整理上式得 t2?0.000762?t?16502? 22?0.81520.00076??2??t?5677x?0.815?1650??1650????0 0.000760.00076?2????解得 t??1072?7.41?106?1.49?107x

上式即为当λ随t呈线性变化时单层平壁的温度分布关系式，此时温度分布为曲线。

计算结果表明，将导热系数按常量或变量计算时，所得的导热通量是相同的，而温度分布则不同，前者为直线，后者为曲线。

二、多层平壁的热传导

以三层平壁为例，如图4-7所示。各层的壁厚分别为b1、b2和b3，导热系数分别为λ1、λ

2和λ3。假设层与层之间接触良好，即相接触的两表面温度相同。各表面温度分别为t1、

t2、t3和t4，且t1＞t2＞t3＞t4。

在稳定导热时，通过各层的导热速率必相等，即Q=Q1=Q2=Q3。 Q??1S?t1?t2?b1??2S?t2?t3?b2??3S?t3?t4?b3

由上式可得

?t1?t1?t2?Qb1 （4-8）

?1S ?t2?t2?t3?Qb2 （4-9）

?2S

图4-7 三层平壁的热传导 ?t3?t3?t4?Qb3 （4-10） Δt1∶Δt2∶Δt3=b1∶b2∶

?3S?1S?2Sb3=R∶R∶R （4-11）

123

?3S可见，各层的温差与热阻成正比。

将式（4-8）、（4-9）、（4-10）相加，并整理得

t1?t4 Q??t1??t2??t3? （4-12）

b3b3b1b2b1b2?????1S?2S?3S?1S?2S?3S式4-12即为三层平壁的热传导速率方程式。

对n层平壁，热传导速率方程式为

Q?t1?tn?1???t?总推动力 （4-13）

nbi?R总热阻?i?1?iS可见，多层平壁热传导的总推动力为各层温度差之和，即总温度差，总热阻为各层热阻之和。

【例4-2】 某平壁燃烧炉是由一层耐火砖与一层普通砖砌成，两层的厚度均为100mm，其导热系数分别为0.9W/（m·℃）及0.7W/（m·℃）。待操作稳定后，测得炉膛的内表面温度为700℃，外表面温度为130℃。为了减少燃烧炉的热损失，在普通砖外表面增加一层厚度为40mm、导热系数为0.06W/（m·℃）的保温材料。操作稳定后，又测得炉内表面温度为740℃，外表面温度为90℃。设两层砖的导热系数不变，试计算加保温层后炉壁的热损失比原来的减少百分之几？

解：加保温层前单位面积炉壁的热损失为?Q?

???S?1此时为双层平壁的热传导，其导热速率方程为： ?Q??t1?t3?700?130?2244W/m2

??0.10.1?S?1b1?b2??1?20.90.7加保温层后单位面积炉壁的热损失为?Q?

???S?2此时为三层平壁的热传导，其导热速率方程为：

t1?t4Q?740?90 ???706W/m2 ???0.10.10.04?S?2b1?b2?b3???1?2?30.90.70.06故加保温层后热损失比原来减少的百分数为：

???? ??S?1?S?2?Q????S?1?Q??Q?2244?706?100%??100%?68.5"44

4-2-4 圆筒壁的热传导

化工生产中通过圆筒壁的导热十分普遍，如圆筒形容器、管道和设备的热传导。它与平壁热传导的不同之处在于圆筒壁的传热面积随半径而变，温度也随半径而变。 一、单层圆筒壁的热传导

如图4-8所示，设圆筒的内、外半径分别为r1和r2，内外表面分别维持恒定的温度t1

和t2，管长L足够长，则圆筒壁内的传热属—维稳定导热。若在半径r处沿半径方向取一厚度为dr的薄壁圆筒，则其传热面积可视为定值，即2πrL。根据傅里叶定律：

dtdt Q???S ????2?rL? （4-14）

drdr分离变量后积分，整理得：

Q?2?L??t1?t2? （4-15）

r2lnr1或 Q?2?L??t1?t2???r2?r1??2?L?rm?t1?t2?

rbln2??r2?r1?r1 ??Sm?t1?t2??t1?t2?t1?t2 （4-16）

bbR?Sm式中 b=r2－r1——圆筒壁厚度，m；

Sm=2πLrm——圆筒壁的对数平均面积，m2； r?r2?r1——对数平均半径，m。

mlnr2r1 当r2/r1＜2时，可采用算术平均值rm?二、多层圆筒壁的热传导

r1?r2代替对数平均值进行计算。 2对层与层之间接触良好的多层圆筒壁，如图4-9所示（以三层为例）。假设各层的导热系数分别为λ1、λ

2和λ3，厚度分别为

b1、b2和b3。仿照多层平壁的热传导公式，则三层

圆筒壁的导热速率方程为：

t1?t4t1?t4 Q? ?bb1bR1?R2?R3?2?3?1Sm1?2Sm2?3Sm3

? （4-17） t1?t4rrrln4ln2ln3r3r1r2??2?L?12?L?22?L?3

图4-8 单层圆筒壁的热传导图 4-9 多层圆筒壁热传导

应当注意，在多层圆筒壁导热速率计算式中，计算各层热阻所用的传热面积不相等，应采用各自的对数平均面积。在稳定传热时，通过各层的导热速率相同，但热通量却并不相等。

【例4-3】 在外径为140mm的蒸气管道外包扎保温材料，以减少热损失。蒸气管外壁温度为390℃，保温层外表面温度不大于40℃。保温材料的λ与t的关系为λ=0.1+0.0002t（t的单位为℃，λ的单位为W/（m·℃））。若要求每米管长的热损失Q/L不大于450W/m，试求保温层的厚度以及保温层中温度分布。

解：此题为圆筒壁热传导问题，已知：r2=0.07m t2=390℃ t3=40℃ 先求保温层在平均温度下的导热系数，即

?390?40? ??0.1?0.0002???0.143W/（m·℃）

2?? （1）保温层温度 将式（4-15）改写为

r32???t2?t3?

lnr2?Q/L lnr3?2??0.143?390?40??ln0.07

450得 r3=0.141m 故保温层厚度为

b=r3－r2=0.141－0.07=0.071m=71mm

（2）保温层中温度分布 设保温层半径r处的温度为t，代入式（4-15）可得 2??0.143?390?t??450

rln0.07解上式并整理得t=－501lnr－942

计算结果表明，即使导热系数为常数，圆筒壁内的温度分布也不是直线而是曲线。