2013考研数三真题及解析

（10）设函数z?z(x,y)由方程(z?y)x?xy确定，则?z?x(1,2)?________。

【答案】2?2ln2

【解析】原式为exln(z?y)?xy,左右两边求导得：xy[ln(z?y)?x?zxz?y]?y,令x?1,y?2 得z?0,zx?2(1?ln2) （11）求

???lnx1(1?x)2dx________。

【答案】ln2 【解析】

?lnx1ln(1?x)2dx??lnxd(?1?x)??x1?x+?1x(1?x)dx??lnx1?x+lnx1?x ???lnx?lnx??lnxx?1(1?x)2dx?xlim??????x1?x+ln1?x??????1?x+ln1?x???ln2 x?1（12）微分方程y???y??14y?0通解为y?________。 1【答案】e2x?C1x?C2?

1【解析】特征方程为?2???14?0,??12x2(二重根)，所以通解为y?e?C1x?C2?

（13）设A?(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，aij?Aij?0(i,j?1,2,3),则A?____

【答案】?1

【解析】

由aij?Aij?0可知，AT??A* A?ai1Ai1?ai2Ai2?ai3Ai3?a1jA1j?a2jA2j?a3jA3j3???a23ij??2j?1?aij?0i?1

从而有A?AT??A*??A2,故A=-1.（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1) ,则E(Xe2X)= ________。 【答案】2e2

9

若

【解析】由X?N?0,1?及随机变量函数的期望公式知

E?Xe2X???????xe2x1e2??x221dx?2??????xe1???x?2?2?4????2?dx?2e2.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当x?0时，1?cosx?cos2x?cos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 【解析】因为当x?0时，1?cosx?cos2x?cos3x与ax为等价无穷小 所以limnn1?cosx?cos2x?cos3x?1

x?0axn又因为：

1?cosx?cos2x?cos3x?1?cosx?cosx?cosx?cos2x?cosx?cos2x?cosx?cos2x?cos3x ?1?cosx?cosx(1?cos2x)?cosx?cos2x(1?cos3x) 即lim1?cosx?cos2x?cos3x1?cosx?cosx(1?cos2x)?cosx?cos2x(1?cos3x)?lim

x?0x?0axnaxn1?cosxcosx(1?cos2x)cosx?cos2x(1?cos3x)?lim(??)x?0axnaxnaxn 121122222x?o(x)(2x)?o(x)(3x)?o(x)222?lim(??)nnnx?0axaxax所以n?2 且

149???1?a?7 2a2a2a13（16）（本题满分10分）

设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值。 【解析】由题意可得：

Vx???a035(x)dx??a3

5a132Vy?2??06?7x?xdx?a3

71356?73a3?10??a3?a?77 因为：Vy?10Vx 所以75 10

（17）（本题满分10分）

设平面内区域D由直线x?3y,y?3x及x?y?8围成.计算【解析】

2222xdxdy?xdxdy?x??????dxdy DD1D22x??dxdy。 D??xdx?xdy??xdx?xdy

032323x628?x?416 3Q，（P是单价，单位：1000（18）（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P?60?元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。

Q2?6000 【解析】（I）设利润为l，则l?PQ?(20Q?6000)?40Q?1000边际利润l'?40?Q 500（II）当P?50时，边际利润为20，

经济意义为：当P?50时，销量每增加一个，利润增加20 (III)令l'?0,得Q?20000，此时P?60?（19）（本题满分10分）

设函数f(x)在[0,??]上可导，f(0)?0且limf(x)?2，证明

x???Q?40 1000（1）存在a?0，使得f(a)?1

（2）对（1）中的a，存在??(0,a),使得f'(?)?1. a3， 2【答案】（I）证明：limf(x)?2,??X,当x?X时，有f(x)?x???f(x)在[0,X]上连续，根据连续函数介值定理，存在a??0,X?，使得f(a)?1

（II）f(x)在[0,a]上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，

f(a)?f(0)?f'(?)a?1,??(0,a)，

故???(0,a)，使得f'(?)?（20）（本题满分11分）

11

1 a

设A???1a??01?,B????，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC?CA?B，并求所有矩阵C。

?10??1b?【解析】

?x1由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C???x3??x2?ax3?0??ax?x?ax?1?124 ? （1）

x?x?x?1?134??x2?ax3?bx2??，则由AC?CA?B可得线性方程组： x4??0?1a00??10?1?1????a10a1?????a10a?10?1?11??0?1a0????01?a0b??01?a01??10?1?1??01?a01?a????00001?a???0000b?1?a??1??10?1?11????1??01?a01?a????0?1a000????b??01?a0b?

由于方程组（1）有解，故有1?a?0,b?1?a?0，即a??1,b?0,从而有

?0?1a0???a10a?10?1?1??01?a0从而有C??0??1??1??0?1??0??b??00?1?11100000001??x1?k1?k2?1??x??k0??21,其中k1、k2任意. ，故有?x?k0?31???0??x4?k2?k1?k2?1?k1??

k1k2??（21）（本题满分11分）

?a1??b1?22????设二次型f?x1,x2,x3??2?a1x1?a2x2?a3x3???b1x1?b2x2?b3x3?，记???a2?,???b2?。

?a??b??3??3?（I）证明二次型f对应的矩阵为2?T???T?；

22（II）若?,?正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y1。 ?y2【答案】(1)

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