大一高数第一章 - - 函数、极限与连续 2

定理1 设α~α?，β~β?，若limα存在，则

βα?αlim?lim.

β?β证因为α~α?,β~β?，则limβ?α?α?αβ?α??1，lim?1，由于???，又limα存在，所以

ββ?αβββαlimβα?α?αα?limlimlim?lim. β?αββ?β定理1表明，在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代.

在极限运算中，常用的等价无穷小量有下列几种：当x?0时sinx~x，tanx~x，

1xarcsinx~x，arctanx~x，1?cosx~x2，ex?1~x，ln?1?x?~x，1?x?1?，

22a(1?x)?1~αx?α?R?.

tan7x. x?0sin5x解 因为x?0时，tan7x~7x，sin5x~5x，所以

tan7x7x7. lim?lim?x?0sin5xx?05x5eax?ebx例2 求lim?a?b?.

x?0sinax?sinbxebx[e(a?b)x?1]eax?ebx?lim解lim

x?0sinax?sinbxx?0a?ba?b2cosxsinx22ebxe(a?b)x?1?lim?lim x?0x?0a?ba?bcosx2sinx22(a?b)x?lim?1. x?0(a?b)2?x23. 例3 求limx2ln?1?2???x??x??3?3解 当x??时，ln??1?2??2，故 x?x?33limx2ln(1?2)?limx2?2?3. x??x??xx定义2 若在某极限过程中，α是βk的同阶无穷小量（k?0），则称α是β的k阶无穷小例1 求lim量.

例4 当x?0时，tanx?sinx是x的几阶无穷小量？

sinx1，所以，当x?0时，解 由本章第六节例4知，limtanx?tanx?sinx是x的?3x?02x三阶无穷小量.

第八节 函数的连续性

前面我们已经讨论了函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性等，在实际问题中，我们遇

到的函数常常具有另一类重要特征，如运动着的质点，其位移s是时间t的函数，时间产生一微小的改变时，质点也将移动微小的距离（从其运动轨迹来看是一条连绵不断的曲线），函数的这种特征我们称之为函数的连续性，与连续相对立的一个概念，我们称之为间断.下面我们将利用极限来严格表述连续性这个概念.

一、函数的连续与间断

定义1 设函数f?x?在x0的某邻域U?x0?内有定义，且有

x?x0limf(x)?f(x0)，

则称函数f?x?在点x0连续，x0称为函数f?x?的连续点. 例1 证明函数f?x??3x2?1在x?1处连续. 证 因为f?1??3?1?1?2，且

limf(x)?lim(3x2?1)?2，

x?1x?1故函数f?x??3x2?1在x?1处连续.

例2 证明函数

y?f?x??x

在x?0处连续.

证 因为y?f?x??x在x?0的邻域内有定义，且

f?0??0，limf(x)?limx?limx2?0.

x?0x?0x?0由定义1可知，函数y?f?x??x在x?0处连续.

我们曾讨论过x?x0时函数的左右极限，对于函数的连续性可作类似的讨论. 定义2 设函数f?x?在内x0点及其某个左（右）有定义，且有 ?， lim?f(x)?f(x0)?limf(x)?f(x)0???x?x0?x?x0?则称函数f?x?在点x0是左（右）连续的. 函数在点x0的左、右连续性统称为函数的单侧连续性. 由函数的极限与其左、右极限的关系，容易得到函数的连续性与其左、右连续性的关系.

f?x?在点x0连续的充要条件是f?x?在点左连续且右连续. 定理1 例3 设函数

2??x?3,x?0,f(x)??

a?x,x?0,??问a为何值时，函数y?f?x?在点x?0处连续？

解 因为f?0??3，且

x?0?limf(x)?lim?(a?x)?a，

x?0x?0x?0lim?f(x)?lim?(x2?3)?3，

因此当a?3时，y?f?x?在点x?0处连续.

例4 设函数

??1,x?0,f(x)??

1,x?0.?试问在x0?0处函数f?x?是否连续？

)??1，于是函数f?x?在点x0?0处不是左连续的，从而函解 由于f?0??1，而lim?f(xx?0数f?x?在x0?0处不连续.

若函数y?f?x?在区间?a,b?内任一点均连续，则称函数y?f?x?在区间?a,b?内连续，称函数f?x?为区间?a,b?内的连续函数.若函数y?f?x?不仅在?a,b?内连续，且在a点右连续，在b点左连续，则称y?f（x）在闭区间??a,b??上连续，称函数f?x?为闭区间??a,b??内的连续函数.半开半闭区间上的连续性可类似定义.函数y?f?x?在其连续区间上的图形是一条连绵不断的曲线.

在工程技术中，常用增量来描述变量的改变量.

设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，终值u2与初值u1的差u2?u1称为变量u的增量，记为Δu，即

Δu?u2?u1.

变量的增量Δu可能为正，可能为负，还可能为零.

设函数y?f?x?在x0的某个邻域U?x0?内有定义，若x?U?x0?，则

Δx?x?x0

称为自变量x在点x0处的增量.显然，x?x0?Δx，此时，函数值相应地由f?x0?变到f?x?，于是

Δy?f?x??f?x0??f(x0?Δx)?f?x0?

称为函数f?x?在点x0处相应于自变量增量Δx的增量. 函数f?x?在点x0处的连续性，可等价地通过函数的增量与自变量的增量关系来描述. 定义3 设函数y?f?x?在x0的某个邻域内有定义，如果，

Δx?0limΔy?lim?f(x0??x)?f(x0)???0 ?x?0?则称函数f?x?在点x0处连续.

函数f?x?在x0处的单侧连续性，可完全类似地用增量形式描述.

定义4 设函数f?x?在x0的任何去心邻域内存在有定义的点，而f?x?在x0处不连续，则称x0是函数f?x?的一个间断点. 函数在x0处连续的定义可简述为：函数f?x?在x0处的极限存在并且等于x0点的函数值.由此可知，函数f?x?在点x0处间断有下列三种情形：

（1）f?x?在x0点无定义，但在x0的任何去心邻域内存在有定义的点； （2）f?x?在x0点有定义，但limf(x)不存在；

x?x0（3）f?x?在x0点有定义，并且limf(x))在，但

x?x0x?x0limf(x)?f(x0).

下面举例说明函数间断点的几种常用类型.

例5 考虑函数y?sinx在x0?0处的连续性.

x解 由于limsinx?1，但在x0?0处，函数y?sinx无定义，故y?sinx在x0?0处不连

x?0xxx续.若补充定义函数值f（）0?1，则函数

?sinx,x?0,? f(x)??x??1,x?0.在x0?0处连续.

例6 讨论函数

?2x,x?0,f(x)??

1,x?0.?在点x0?0处的连续性.

解 由于limf(x)?lim2x?0，而f(x)x?0x?0x?0?1，由定义知函数f(x)在点x0?0处不连续.

若修改函数y在x0?0的定义，令f(0)?0，则函数

?2x,x?0,f(x)??

0,x?0.?在点x0?0处连续（见图1-33）.

图1-33

从上述分析和例子中我们知道，有各种情形的间断点，为了方便，通常把间断点分成两大类：

??（1）若x0点是函数f?x?的间断点，但左极限f(x0)及右极限f(x0)都存在，那么x0点称为函数f?x?的第一类间断点；

（2）若x0点是函数f?x?的间断点，但它不是f?x?的第一类间断点，则称x0点为函数f?x?的第二类间断点.

由实际应用的需要，间断点的分类还可以进一步细分.例如，我们考察例6，例7中间断点x?0的情形，它们显然是相应函数的第一类间断点，而且只要补充或改变x?0点的函数值，则函数在该点就连续了.对于第一类间断点中的这一类间断点，我们定义如下：

若limf(x)存在，且limf(x)?a，而函数y?f?x?在点x0处无定义，或者虽然有定义，

x?x0x?x0

但f?x0??a，则点x0是函数y?f?x?的一个间断点，称此类间断点为函数的可去间断点.此时，若补充或改变函数y?f?x?在点x0处的值为f?x0??a，则可得到一个在点x0处连续的函数，