2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）

2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足（1）求a及角A的大小； （2）求

的值．

．

【解答】解：（1）由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得 ﹣2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC， 即﹣2sinBcosA=sin（A+C）=sinB， 在△ABC中，sinB＞0，所以又A∈（0，π），所以

．

．

在△ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=7， 所以（2）由得所以

． ．

， =

，

18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且∠A1AB=∠A1AD=60°． （1）求证：BD⊥CC1；

（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为

．

，

【解答】解：（1）连接A1B，A1D，AC， 因为AB=AA1=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°， 所以△A1AB和△A1AD均为正三角形， 于是A1B=A1D．

设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD， 又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD， 而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC． 又AA1?平面A1AC，所以BD⊥AA1， 又CC1∥AA1，所以BD⊥CC1． （2）由于是

，及

，知A1B⊥A1D，

，从而A1O⊥AO，

结合A1O⊥BD，A1∩AC=O，得A1O⊥底面ABCD， 所以OA、OB、OA1两两垂直． 如图，以点O为坐标原点，﹣xyz，

则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），C（﹣1，0，0），

，

由设

，

，得D1（﹣1，﹣1，1）．

（λ∈[0，1]），

，

的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O

则（xE+1，yE+1，zE﹣1）=λ（﹣1，1，0），即E（﹣λ﹣1，λ﹣1，1）， 所以

．

，

设平面B1BD的一个法向量为

由得令x=1，得，

设直线DE与平面BDB1所成角为θ， 则解得

或

（舍去），

．

，

所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为

19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，

（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．

附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为

；

②若

，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）

=0.9544．

【解答】解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为

．

（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ=26.5，σ≈11.95， ∴P（14.55＜Z＜38.45）=P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826， ∴Z落在（14.55，38.45）内的概率是0.6826． ②根据题意得X～B（4，），

； ；

∴X的分布列为

X P ∴

20．（12分）已知椭圆C：径的圆的内接正方形面积为2． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．

的离心率为

，且以两焦点为直

． 0 ；；

．

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