陈省身谈数学的美

一个分支。有以下一则故事。英国的大数学家G.H.Hardy（1877-1947）有一天去医院探望他的朋友，印度天才数学家S.A.Ramanujan（1887-1920）。Hardy的汽车号是1729.他向Ramanujan说，这个数目没有意思。Ramanujan说，不然，这是可以用两种不同方法写为2个立方之和的最小的数，如3 3 3 3 1729=1+12=9+10这结果可用椭圆曲线论来证明。我们知道，要找一个一般方程的解不容易的，而要找一个系数为整数的多项式方程P（x，y）=0（传统上叫Diophantine方程）的整数解更困难。因为普通的解不会是整数，这是数论中的一个主要问题。需要说明的，在Wiles完成这个证明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth A.Ribet，他有重要的贡献。他证明了一日本数学家Yutaka Taniyama的某一个关于椭圆曲线的假设包含Fermat定理。于是可将Fermat定理变为一个关于椭圆曲线的定理。Wiles根据Ribet的结果又继续经过了许多步骤，以至达到最后的证明。即在复平面内得到曲线。由复变函数论知道，复平面内的曲线就成为一个Riemann曲面。Riemann曲面为定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一个最简单的情形，就是一个球加上一个把手，即一个环面。环面是个群，且为可交换群。所谓椭圆曲线，就是把这个曲线看成复平面内亏格（genus）等于1的复曲线。亏格等于1的曲线有一个非常深刻而巧妙的性质。即它上面的点有一个可交换群的构造。两

个点可以加起来，且有群的性质。这是很重要的性质。椭圆曲线与椭圆无关。原因是，若所有曲线的亏格大于1，相当于Riemann曲面有一个Poincare度量，它的曲率等于1，所有曲面若其曲率等于-1，则叫做双曲的。亏格等于1的叫椭圆。亏格等于0的叫抛物线。椭圆曲线的研究是数论中非常重要，非常有意思的方面。最近一期的科学杂志（Science），有位先生写了一篇关于椭圆曲线的文章。椭圆曲线在电报的密码上有应用。而中国也有很多人在做代数几何与代数数论方面的工作。最近在黄山有一个国际性的，题为\代数几何与代数数论\的会议，由冯克勤先生主持。

从这个定理我们应认识到：高深的数学是必要的。Fermat定理的结论虽然简单，但它蕴藏着许多数学的关系，远远超出结论中的数学观念。这些关系日新月异，十分神妙，学问之奥，令人拜赏。我相信，Fermat定理不能用初等方法证明，这种努力是徒劳的。数学是一个整体，一定要吸取几千年所有的进步。

4拓扑与量子场论

1995年初的一天晚上，我在家看晚间电视新闻。突然，

我听到自己的名字，大吃一惊。原来加利福尼亚发一种彩票，头彩300万美元，若无人中彩的话，可以积累到下一次抽彩。我从前的一个学生，名Robert Uomini，中了头彩美金2200万元。他曾选过我的本科课，当时还对微分几何很有兴趣。

他很念旧，以100万美元捐赠加州大学，设立\陈省身讲座\学校决定，以此讲座邀请名学者为访问教授。第一位应邀的为英国数学家Sir Michael Atiyah.他到中国不止一次。他是英国影响最大的数学家，剑桥大学三一学院的院长，则卸任的英国皇家协会会长。Atiyah很会讲学，也很博学，他的报告有很大的吸引力。他作了八讲，讲题是\拓扑与量子场论\这是当前一个热门的课题，把高深的数学和物理联系起来了，导出了深刻的结果。现在拓扑在物理上有非常重要的应用，这跟杨振宁的Yang-Mills场方程有很密切的关系。杨先生喜欢说，你们数学家写的东西，我们学物理的人看不懂，等于另外一种文字。我想我们搞数学的人有责任把我们的结果，写成不是本行的人也至少知道你讲的是怎么一回事。物理学，量子力学，尤其是量子场论与数学的关系其实并不复杂。说到数学的应用，讲一下矢量空间，Euclid空间就是一个矢量空间。再进一步，多个矢量空间构成一个拓扑空间，这就是所谓的矢量丛，即一束这样的空间。这样的空间有一些简单的性质。比如说，局部来讲，这种矢量空间是一个chart，是一个集，可用坐标来表示。结果发现矢量丛这种空间在物理上很有用。物理学的一个基本观念是\场\最简单的场是电磁场，尤为近代生活的一部分。电磁场的\势\适合Maxwell方程。Hermann Weyl第一个看出这个势不是一个确定的函数。它可以变化。这在物理上叫做规范（gauge，不完全确定

的，可以变化的），这就是物理上规范场论的第一个情形。

物理上有4种场：电磁场，引力场，强作用场和弱作用场。现在知道，这些场都是规范场。即数学系上是一束矢量空间，用一个线性群来缝住的。电磁场的重要推广，是Yang-Mills的规范场论。杨先生的伟大贡献就是在SU（2）（special unitary group in twovariables）情形下得到物理意义明确的规范场，即同位旋（isospin）规范场，这种将数学现象给以物理的解释，是件了不起的工作，因为以往的Maxwell场论是一个可交换的群。现在变为在SU（2），群是不能交换的。而实际上，物理中找到了这样的场，这是科学上一个伟大的发展。数学家可以自豪的是，物理学家所需的几何观念和工具，在数学上已经发展了。杨先生之所以有这么大的成就，其中一个很重要的，很了不起的原因是除了物理的感觉以外，他有很坚实的数学基础。他能够在这大堆复杂的方程中看出某些规律，它们具有某种基本的数学性质。Yang-Mills方程的数学基础是纤维丛。这种观念Dirac就曾有过。Dirac的一篇基本论文中就讲到这种数学。但Dirac没有数学的工具。所以他在讲这种观念时，不但数学家不懂，就连物理学家也不懂。不过，其中有一个到现在还未解决的物理含义，即有否磁单极（magnetic monople）。可能会有。就是说，有否这样的场，它的曲率不等于0（曲率是度量场的复杂性的）？物理上要