(名师名校推荐)2020-2021最新年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式达标检测新人教A版选修4-5

第三讲 柯西不等式与排序不等式

达标检测

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知a，b，c都是正数，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式中正确的是( ) A．(a＋b＋c)2

≥3 B．a2＋b2＋c2

≥2 C.1a＋1b＋1

c≤23

D．a＋b＋c≤1

3abc

解析：用3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2

≤3(a2

＋b2

＋c2

)易得． 答案：A

2．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2

＋y2

＋z2

取到最小值时的x，y，z的值为( A.51053，9，6 B．20304029，29，29 C．1，112，3

D．1，114，9

2解析：x2

＋y2

＋z2

＝x2＋y2＋z2

2＋32＋4

2

29

2x＋3y＋4z2

≥

29

＝10029

. ?x＝2k当且仅当?

?y＝3k??z＝4k

时，等号成立，

则4k＋9k＋16k＝29k＝10，解得k＝10

29

，

?20?x＝29

，∴?y＝30，?29?z＝4029.

选B.

答案：B

3．已知3x2

＋2y2

≤1，则3x＋2y的取值范围是( ) A．[0，5]

B．[－5，0]

) 1

C．[－5，5]

解析：|3x＋2y|≤3x＋2y·答案：C

2

2

D．[－5,5]

3

2

＋2

2

≤5，所以－5≤3x＋2y≤5.

123yz4．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是( )

xyz23A．5 C．8

B．6 D．9

yz?yz??123?2xy3xz3y2z解析：x＋＋＝?x＋＋??＋＋?＝3＋＋＋＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9，选D.

23??xyz?23?y2xz3x2z3y答案：D

x2y2222

5．已知2＋2＝1(a>b>0)，设A＝a＋b，B＝(x＋y)，则A、B间的大小关系为( )

abA．A

2

2

2

2

2

2

B．A>B D．A≥B

y?2?xy?22?x2

解析：A＝a＋b＝1·(a＋b)＝?2＋2?(a＋b)≥?·a＋·b?＝(x＋y)＝B.即A≥B.

b??ab??a答案：D

6．已知a，b是给定的正数，则2＋2的最小值为( )

sinαcosαA．a＋b C．(a＋b)

2

2

2

a2b2

B．2ab D．4ab

b??a222

解析：2＋2＝?2＋2?(sinα＋cosα)≥(a＋b)，故应选C.

sinαcosα?sinαcosα?

答案：C

7．设a，b，c为正实数，a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值是( ) A.5 C．23

解析：1＝a＋b＋4c ＝(a)＋(b)＋(2c)

112222222

＝[(a)＋(b)＋(2c)]·(1＋1＋1)≥(a＋b＋2c)·， 33

1112

∴(a＋b＋2c)≤3，a＋b＋2c≤3，当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号．

3312

2

2

2

a2b2

22

B．3 D．3

2

2

答案：B

8．函数y＝3x－5＋46－x的最大值为( ) A.5 C．7

解析：函数的定义域为[5,6]，且y>0.

B．5 D．11

y＝3×x－5＋4×6－x≤32＋42×

当且仅当x－5

2

＋6－x2

＝5.

x－5

3

＝

6－x. 4

134

即x＝时取等号．所以ymax＝5.

25答案：B

9．若x，y，z是非负实数，且9x＋12y＋5z＝9，则函数u＝3x＋6y＋5z的最大值为( ) A．9 C．14

2

2

2

2

2

2

2

B．10 D．15

2

2

2

2

解析：u＝(3x＋6y＋5z)≤[(3x)＋(23y)＋(5z)]·[1＋(3)＋(5)]＝9×9＝81，当且11

仅当x＝，y＝，z＝1时等号成立．故所求的最大值为9.

32答案：A

10．若5x1＋6x2－7x3＋4 x4＝1，则3x1＋2x2＋5x3＋x4的最小值是( ) 782

A. 15C．3 解析：因为?

15B． 78225D． 3

2

2

2

2

?25＋18＋49＋16?(3x2＋2x2＋5x2＋x2)≥

?1234

5?3?

?5×3x1＋32×2x2＋－7×5x3＋4×x4?22

??＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)＝1，

5?3?

152222

所以3x1＋2x2＋5x3＋x4≥. 782答案：B

11．设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均为正数)，则＋＋…＋的最小值是( )

a1a2c1c2ancn 3

1A. nB．n D．不能确定

C．1

111111111

解析：不妨设0

a1a2anc1c2

anancna1a2an又反序和≤乱序和，所以＋＋…＋≥＋＋…＋＝n. 答案：B

12．已知a，b，c∈R＋，设P＝2(a＋b＋c)，Q＝a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)，则( ) A．P≤Q C．P≥Q

解析：设a≥b≥c，a≥b≥c，

顺序和a＋b＋c，乱序和ab＋bc＋ca与ac＋ba＋cb， ∴a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，

3

3

3

2

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

2

2

2

a1a2c1c2ana1a2cna1a2

B．PQ

a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b，

2(a＋b＋c)≥a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)， ∴P≥Q，选C. 答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 11

13．已知x>0，y>0，且2x＋y＝6，则＋的最小值为________．

3

3

3

2

2

2

xy11?2111??1?2?1?2?1??11?122

解析：＋＝(2x＋y)?＋?＝[(2x)＋(y)]·???＋???≥?2x·＋y·?

xy6?xy?6xy???x??y??6?13＋222

＝(2＋1)＝， 66当且仅当2x·

1

y＝y·

1

x，即x＝6－32，y＝62－6时取等号．

1

答案：(3＋22)

6

14．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．

4