【解析】陕西省咸阳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

（1）求证：SC?AM；

（2）求平面SAB与平面SCD夹角的大小. 【答案】（1）证明见解+析；（2）45° 【分析】

(1) 以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AS为z轴,建立空间直角坐标系,再证明SC?AM?0即可.

(2)分别求出平面SAB与平面SCD的法向量,再利用空间向量的公式求解二面角即可. 【详解】解：（1）证明：以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AS为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

uuuruuuur

则S(0,0,1),C(1,1,0),A(0,0,0),M?0,,??11??, 22?uuur?11?uuur∴SC?(1,1,?1),AM??0,,?

?22?uuuruuuur11∴SC?AM???0,

22

13

∴SC?AM

（2）易知,平面SAB的一个法向量为n?(0,1,0), 由图知S(0,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),

ruuuruuur∴SC?(1,1,?1),SD?(0,1,?1),

ur设平面SCD的法向量为m?(x,y,z),

uuuvvur?m?SC?x?y?z?0uv则?vuu,取y?1,得平面SCD的一个法向量为m?(0,1,1), ?m?SD?y?z?0设平面SAB与平面SCD的夹角为?,

urrm?n2rr?则cos??u,故??45? |m||n|2 ∴平面SAB与平面SCD夹角的大小为45°

【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明直线垂直与二面角的空间向量求法,属于中等题型.

x2y2a222.已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1(?2,0)，直线l1:x??与x轴交于

ab2点N?-3,0?，过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A，B两点 （1）求直线l和椭圆E的方程；

（2）求证：点F1??2,0?在以线段AB为直径的圆上.

x2y23【答案】（1） l：y?（2）证明见解+析 ?1；(x?3)，E：?623 【分析】

(1)根据点斜式与椭圆的基本量求法求解即可.

uuuruuur(2)联立直线l椭圆, 设A?x1,y1?,B?x2,y2?利用韦达定理证明F1A?F1B即可.

【详解】解：（1）由题知,直线l的方程为y?3(x?3) 3 14

a2由???3,得a2?6,

2又c?2,∴b2?a2?c2?2,

x2y2∴椭圆E的方程为??1

62?x2y2??1??62（2）联立方程组?,得2x2?6x?3?0,

?y?3(x?3)?3?设A?x1,y1?,B?x2,y2?,则x1?x2??3,x1x2?uuuruuur∵F1(?2,0),∴F1A??x1?2,y1?,F1B??x2?2,y2?,

uuuruuur1∴F1A?F1B??x1?2??x2?2??y1y2?x1x2?2?x1?x2??4??x1?3??x2?3?

3443?x1x2?3?x1?x2??7???3?(?3)?7?0 332∴F1(?2,0)点在以线段AB为直径圆上.

【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理与向量的方法求解圆过定点的问题.属于中等题型.

3, 2

的

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