示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数习题课（二）)

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将其转化为熟悉的函数来求解，体现了化归思想的运用，值得我们好好地加以体会.本题中通过换元，将十分复杂的函数关系式转化为我们较为熟悉的二次函数，求函数的最值就变得轻而易举了.

ax2?15 例5 已知函数f(x)=是奇函数，且f(1)=2,f(2)=.

2bx?c (1)求函数f(x)的表达式；

(2)当x＞0时，讨论函数f(x)的单调性，并写出证明过程. 分析：用方程确定a,b,c的值，用定义来证明函数单调性.

解：(1)由f(-x)=-f(x)得-bx+c=-(bx+c)，所以c=0.又f(1)=2，即a+1=2b.因为f(2)=

5，所2?a?1,x2?14a?15?以=，得a=1，故?b?1,从而得f(x)=.

a?12x?c?0,?x2?11 (2)f(x)==x+在(0,1]上是单调减函数，在[1,+∞)上是单调增函数.证明如下：

xx任取0＜x1＜x2， 则f(x1)-f(x2)=(x1+

(x?x2)(x1x2?1)11111)-(x2+)=(x1-x2)+()=1. ?)=(x1-x2)(1-x1x2x1x2x1x2x1x21x1x ①若0＜x1＜x2≤1，则x1-x2＜0,0＜x1x2＜1，于是f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).所以y=x+在区间(0,1]上是单调减函数.

②若1≤x1＜x2，所以x1-x2＜0,x1x2＞1，于是f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).所以y=x+在区间[1,+∞)上是单调增函数.

x2?11 综上所述，函数f(x)==x+在(0,1]上是单调减函数，在[1,+∞)上是单调增函数.

xx 点评：解题时值得注意的是奇(偶)函数条件的使用，函数是奇函数(或偶函数)也就意味

着等式f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)]对于定义域内的任意x都成立，通过恒等式有关知识寻求等量关系.求函数单调区间一般有三种方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性法.本例图象不易作出，利用函数y=x和y=

1的单调性也不行，故只能使用函数单调性的定x义来确定.

例6 已知y=f(x)是定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0.

(1)解不等式f(x)≥0；

(2)设函数g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1],m∈R)，集合M={m|g(x)＜0}，集合N={m|f[g(x)]＜0}，求M∩N.

分析：本题中的函数f(x)是抽象函数，因此只能由函数的性质，结合函数的草图来解决本题.

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解：(1)因为f(x)为定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数且f(1)=0，所以f(-x)=-f(x)，则f(-1)=-f(1)=0；

当x∈(0,+∞)时，因为f(x)在(0,+∞)上是增函数，由f(x)≥0得x≥1； 因为奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，又f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以f(x)在区间(-∞,0)上也是增函数，又因为f(-1)=0，所以当x∈(-∞,0)时，由f(x)≥0得-1≤x＜0. 综上所述，不等式f(x)≥0的解集为[-1,0)∪[1,+∞).

(2)由(1)可知f(x)≥0的解集为[-1,0)∪[1,+∞)，因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，所以f(x)＜0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).所以由f[g(x)]＜0得g(x)＜-1或0＜g(x)＜1，即N={m|g(x)＜-1或0＜g(x)＜1}，因为M={m|g(x)＜0}，所以M∩N={m|g(x)＜-1}.因为g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1])，所以g(x)＜-1化为-x2+mx-2m+1＜0，即(x-2)m+1-x2＜0，因为x∈[0,1]，所以m＞

x2?1(x?2)2?4(x?2)?333?=(x-2)++4=-[(2-x)+]+4，当x∈[0,1]时，2-x＞0，

x?22?xx?2x?2根据函数h(t)=t+的图象可知：-[(2-x)+m＞?21t3]+4≤?23+4，当x=2?3时取等号，所以2?x3+4.

点评：本题所给函数是抽象函数，具有一定的综合性；在解决第一问时可以借助函数的单调性与奇偶性画出草图来帮助我们解题；在解决第二问时，可能有学生会分别求出集合M与N，然后再取交集，教师应该引导学生按照以上解答过程来解决省时省力. 巩固训练

思路1

1.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5，-2)上是( ) A.增函数 B.减函数

C.部分为增函数，部分为减函数 D.无法确定增减性 解答：A

2.设函数f(x)=ax3+cx+5，已知f(-3)=3，则f(3)等于( )

A.3 B.-3 C.2 D.7 解答：D

3.已知偶函数y=f(x)在区间[0，4]上是增函数，则f(-3)和f(π)的大小关系是( ) A.f(-3)＞f(π) B.f(-3)＜f(π) C.f(-3)=f(π) D.无法确定 解答：B 4.已知f(x)=x2+

1在[-3，-2]上是减函数，下面结论正确的是( ) |x| A.f(x)是偶函数，在[2，3]上单调递减 B.f(x)是奇函数，在[2，3]上单调递减 C.f(x)是偶函数，在[2，3]上单调递增 D.f(x)是奇函数，在[2，3]上单调递增 解答：C

5.已知f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x(1-x)，则当x＜0时，f(x)等于 …( ) A.x(x+1) B.x(x-1) C.x(1-x) D.-x(1+x)

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解答：A

6.定义在R上的函数f(x)、g(x)都是奇函数，函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在区间(0，+∞)上的最大值为10，那么函数F(x)在(-∞，0)上的最小值是. 解答：-4

7.函数f(x)=x3+bx2+cx是奇函数，函数g(x)=x2+(c-2)x+5是偶函数，则b=__________，c=__________. 解答：0 2

8.函数f(x)=|x-a|-|x+a|(a∈R)的奇偶性是__________. 解答：a≠0奇函数，a=0既是奇函数又是偶函数

9.偶函数f(x)是定义在R上的函数，且在(0，+∞)上单调递减，则f(-

3)和f(a2-a+1)的大4小关系是__________.

10.f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数，那么满足f(a)+f(a2)＞0的实数a的取值范围是__________. 解答：f(-

3)≥f(a2-a+1) 10.-1＜a＜0 4 点评：本组练习以基础题为主，难度不大.

思路2

1.已知二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x. (1)求y=f(x)的表达式；

(2)求y=f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值. 2.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=?1，若当2≤x≤3时，f(x)=x，则f(x)f(5.5)＝___________.

3.某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为多少？ 4.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3，

(1)当x∈(-2，6)时，其值为正；x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时，其值为负，求a,b的值及f(x)的表达式； (2)设F(x)=?kf(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，k为何值时，函数F(x)的值恒为负值. 4a10a，该集团今年计划对这两项生产共投入,Q=

33 5.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q(万元)，这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=

奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利

润为多少万元？ 解答：

1.解：(1)由题意可设f(x)=ax2+bx+1，则f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x，因此a=1,b=-1, 所以f(x)=x2-x+1.

123)+，x∈[-1,1], 2413 所以ymax=f(-1)=3，ymin=f()=.

24 (2)因为f(x)=x2-x+1=(x-

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2.解：因为f(x+2)=?11，所以f(x+4)=?=f(x)，

f(x?2)f(x) 则f(5.5)=f(1.5)，f(1.5)=f(-2.5)，又因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当2≤x≤3时，

f(x)=x，所以f(-2.5)=f(2.5)=2.5，因此f(5.5)=2.5.

3.解：因为25x≥3 000+20x-0.1x2，即x2+50x-30 000≥0，所以x≥150(x≤-200舍去)，所以最低产量为150台.

23??f(?2)?4a?2a?2b?a?0, 4.解：(1)由已知?解得：32a+8a2=0(a＜0)，所以a=-4，

23??f(6)?36a?6a?2b?a?0,从而b=-8，所以f(x)=-4x2+16x+48. (2)F(x)=

?k(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2，要使F(x)＜0，只要4?k?0,得k＜-2. ????16?8k?0, 5.解：设投入养殖业为x万元，则投入养殖加工生产业为60-x万元

x10?60?x(0≤x≤60)，设t=60?x,则0≤t≤60，x=60-t2，则33110185P+Q=(60-t2)+t=-(t-5)2+，

333385 所以当t=5，即x=35时，(P+Q)max=.

385 因此对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润万元.

3 由题意，P+Q=

点评：本组练习对学生的能力要求比较高. 课堂小结

函数的基本性质中单调性与奇偶性是紧密地联系在一起的，在许多问题中常常需要结合在一起加以运用，因此，学习函数时，要正确理解函数的单调性和奇偶性，把握其本质特征，学会灵活地运用函数的单调性和奇偶性解题.

研究函数问题时，要重视函数图象的功能，掌握数形结合的思想方法，培养数形结合解题的意识，提高数形结合解题的能力. 作业

课本第43页习题2.1(3)3、11.

设计感想

深刻理解函数的有关性质： 概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，函数的单调性，奇偶性，最大(小)值等是函数有关概念的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质特征. 函数的单调性是函数重要概念之一，应明确：

(1)它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的，谈到函数的单调性必须指明区间(可以是定义域，也可以是定义域内某个区间)

(2)用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是：取值——作差——变形——定号——结论.

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(3)由函数单调性的定义知，当自变量由小到大，函数值也由小到大时，则为增函数，反之，为减函数；由于函数图象的走向能直观反映函数的变化趋势，所以当函数的图象(曲线)从左到右是逐渐上升的，它是增函数，反之为减函数.

函数的奇偶性：奇偶性是对于函数的整个定义域而言的.判断函数是否具有奇偶性时，首先要检查其定义域是否关于原点对称，然后再根据定义求出f(-x)并判断它与f(x)的关系. 函数图象可直观、生动地反映函数的某些性质，因此在研究函数性质时，应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的性质.

函数是用以描述客观世界中量的存在关系的数学概念，函数思想的实质是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系、解决各种问题. 纵观近几年的高考试题，考查函数的思想方法已放在一个突出的位置上，特别是近三年加大了应用题的考查力度，选用的题目都要应用函数的思想、知识、方法才能解答的，因此在函数的学习中，一定要认识函数思想的实质，一定要强化应用意识.

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