示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数习题课（二）)

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负号没有办法去掉.例3中的函数f(x)为奇函数，不等式右边的负号可以拿到括号里面，再根据函数f(x)的单调性来解决即可，而变式二中的函数f(x)为偶函数，不等式右边的负号去不掉就没有办法利用函数f(x)的单调性来解决. 拓展探究：

(正确)变式三：定义在(-1,1)上的偶函数f(x)在(-1,0]上是减函数，若f(1-a)＜f(1-3a)，求实数a的取值范围.

例4 已知函数f(x)=ax3+bx+1，常数a、b∈R，且f(4)=0，则f(-4)=____________. 分析：本题所给的函数虽然给出了函数解析式，但解析式中含有两个参数.想要将这两个参数全部求出来再来求解显然是不可能的，因为题目中只给出了一个条件，根据一个条件想要求出两个未知数的值是办不到的.因此尝试着用整体思想来解决本题. 解：(方法一)设g(x)=ax3+bx，则f(x)=g(x)+1.

因为g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-ax3-bx=-g(x)，所以g(x)是奇函数.

因为f(4)=g(4)+1=0，所以g(4)=-1；又因为g(x)是奇函数，所以g(-4)=-g(4)=1，所以f(-4)=g(-4)+1=2.

(方法二)因为f(x)=ax3+bx+1，所以f(-x)=a(-x)3+b(-x)+1=-ax3-bx+1，

则f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2，即f(-x)=2-f(x)，所以f(-4)=2-f(4)=2-0=2. 点评：(1)审题要重视问题的特征；(2)整体代换是解决此类问题常用的思想方法. 例5 求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最小值.

分析：本题中的函数是二次函数，求二次函数在闭区间上的最值问题按照“配方——草图——有效图象”三部进行.

解：因为函数f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：

(1)当a＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a； (2)当2≤a≤4时，f(x)min=f(a)=2-a2；

(3)当a＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a.

(a?2),?6?7a,?2 综上所述：f(x)min=?2?a,(2?a?4),

?18?8a,(a?2).? 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对

称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间[2，4]的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况. 变式训练

1.求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最大值.

解：由例5可知f(x)max为f(2)与f(4)中较大者，根据函数f(x)=x2-2ax+2的草图可知： (1)当a≥3时，f(2)≥f(4)，则f(x)max=f(2)=6-4a； (2)当a＜3时，f(2)＜f(4)，则f(x)max=f(4)=18-8a.

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故f(x)max=??6?4a,(a?3),

?8?8a,(a?3). 2.求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最值.

解：因为f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2，函数f(x)的对称轴是x=a， (1)当a≤2时，f(x)min=f(2)=6-4a，f(x)max=f(4)=18-8a;

(2)当2＜a＜3时，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(4)=18-8a； (3)当3≤a＜4，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(2)=6-4a； (4)当a≥4时，f(x)min=f(4)=18-8a，f(x)max=f(2)=6-4a.

例6 设x1，x2为方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，当m为何实数值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值.

错解：因为x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，

m?2. 4m?2117 所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-=(m-)2-.

4162117 所以当m=时，x12+x22有最小值，且最小值为-.

416 由韦达定理，得x1+x2=m， x1·x2=

分析：关于x的一元二次方程4x2-4mx+m+2=0有两个实根，则它的判别式：Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，即m∈(-∞-1]∪[2,+∞)，m取不到

1，不能忽视一元二次方程有实根4的充要条件.

正解：因为x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，由韦达定理，得x1+x2=m，x1·x2=

m?2. 4m?2117=(m-)2-.

41621217)-的

416 所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-

又因为Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，解得m≤-1或m≥2.可根据二次函数f(m)=(m-草图，知当m=-1时，ymin=

1. 2

点评：求函数值域、最值，解方程、不等式等均要考虑字母的取值范围，有些问题的定义域非常隐蔽.因此，我们要注意充分挖掘题目中的隐含条件.

思路2

例1 是否存在实数λ，使函数f(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ在区间(-∞,-2]上是减函数，而在区间[-1,0)上是增函数？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.

分析：已知函数在规定区间上的单调性，运用定义可得出λ与所设的x1、x2的不等关系式，再根据变量x1、x2的两个范围，求出λ的范围，由两个已知条件求出λ的两个范围，

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若有公共部分则λ存在，若无公共部分，则λ不存在.

解：因为f(x1)-f(x2)=x14-x24+(2-λ)(x12-x22)=(x12-x22)(x12+x22+2-λ). 若x1＜x2≤-2，则x12-x22＞0，且x12+x22+2＞4+4+2=10，

所以当且仅当λ≤10时，f(x1)-f(x2)＞0恒成立，从而f(x)在区间(-∞,-2]上是减函数. 若-1≤x1＜x2＜0，则x12-x22＞0，且x12+x22+2＜1+1+2=4，

所以当且仅当λ≥4时，f(x1)-f(x2)＜0恒成立，从而f(x)在区间[-1,0)上是增函数.

综上所述，存在实数λ使f(x)在区间(-∞,-2]上是减函数，而在区间[-1,0)上是增函数，且实数λ的取值范围为[4,10].

点评：本题是一道探索性命题，是一道求函数单调性的逆向问题，定义是解决此类问题的最佳方法.

例2 设定义在R上的偶函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，若实数x满足f(x)＞f(2x+1)，试求x的取值范围.

分析：要求x的取值范围，关键是脱去“f”，因此要通过讨论，在f(x)的单调区间上，利用函数的单调性使问题获得解决. 解：可分为三类来加以讨论：

(1)若x≥0，则2x+1＞0，由题设，函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，得0≤x＜2x+1，解之得x≥0. (2)若??x?0,1即x＜-，由于函数y=f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，故f(x)＞

2?2x?1?0,f(2x+1)�趂(-x)＞f(-2x-1)，而-x＞0，-2x-1＞0,且函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，得

1?x??,?解之，得x＜-1. 2????x??2x?1,?x?0,1 (3)若?即-＜x＜0，仿上可得f(x)＞f(2x+1)�趂(-x)＞f(2x+1)，

22x?1?0,??11???x?0, 有?2解之，得?＜x＜0.

3???x?2x?1, 综上所述，x的取值范围是(-∞,-1)∪(?1,+∞). 3 点评：(1)解关于抽象函数的函数方程或函数不等式，基本思路是依据函数的单调性脱去“f”，要注意函数单调性定义的正确运用； 若f(x)在区间A上递增，且f(x1)＜f(x2)，则??x1,x2?A,

x?x,2?1?x1,x2?A, 若f(x)在区间A上递减，且f(x1)＜f(x2)，则?

x?x,2?1 (2)若能注意到偶函数y=f(x)具有如下性质：f(x)=f(|x|)，则由题意可得，f(x)=f(|2x+1|)，

从而有|x|＞|2x+1|，本题的求解可避开讨论，过程更为简捷.

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例3 设函数y=f(x)的定义域为R，且对于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，又当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-

1.求函数y=f(x)在区间[-4,4]上的最大值和最小值. 2 分析：问题中的函数解析式没有给出，求最值应从哪里入手呢？只要知道了函数的单调性，问题也就迎刃而解了.

解：由题意知，对于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)① 在①中，令x1=x2=0，可得f(0)=0.

在①中，令x1=x,x2=-x，可得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x). 设x1,x2∈R且x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).

因为x2-x1＞0，由题设知f(x2-x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，所以函数y=f(x)在R上是减函数，因此在区间[-4,4]上，有f(4)≤f(x)≤f(-4). 又因为f(1)=-

1， 2 所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-1,f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-2， 则f(-4)=-f(4)=2.

故在区间[-4,4]上函数y=f(x)的最大值为2，最小值为-2.

点评：(1)求解有关抽象函数的问题时，赋值法是常用的方法，给自变量x赋以一些特殊的数值，构造出含有某个函数值的方程，通过解方程使问题获解； (2)根据函数的单调性求函数的最值是常用方法之一，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是增(或减)函数，那么函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(b)〔或f(a)〕，最小值为f(a)[或f(b)]. 例4 有甲、乙两种商品，经营、销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系有经验公式P=

13x，现有3万元资金投入经营x，Q=

55甲、乙两种商品，设其中有x万元投入经营甲种商品，这时所获得的总利润为y万元.

(1)试将y表示为x的函数；

(2)为使所获得的总利润最大，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少万元？这时的最大利润是多少万元？ 分析：这是一道实际应用问题，建立恰当的函数关系式是实现问题解决的基础，要注意：充分利用题目中所给的信息，不要忘记定义域.

解：(1)当有x万元投入经营甲种商品时，则有(3-x)万元投入经营乙种商品，根据题意得：y=

13x?3?x(x∈[0,3]). 55 这就是所求的函数关系式. (2)设y=

3?x=t，则x=3-t2(t∈[0,3])，于是原函数关系式可化为

123131(3-t)+t=-(t?)2+20(t∈[0,3]). 555223213339 当t=时，ymax=.此时，x=3-()2=，3-x=3-=.

2202444 因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别投入0.75万元和2.25万

元，所获最大利润是1.05万元.

点评：(1)遇到实际应用问题，建立恰当的函数关系式是实现问题解决的基础，另外要注意：充分利用题目中所给的信息，不要忘记定义域.

(2)求函数的最大值和最小值，方法比较灵活，对一些复杂的函数关系式，通过换元，

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