示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数习题课（二）)

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习题课(二)

(函数的概念和图象)

教学过程

复习(教师引导，学生回答) 1.函数单调性的定义.

2.证明函数单调性的基本步骤. 3.函数奇、偶性的定义.

4.根据定义判定函数奇、偶性的步骤.

5.根据奇偶性可以把函数分为四类：奇函数；偶函数；既是奇函数，也是偶函数；既不是奇函数，也不是偶函数.

6.既是奇函数，也是偶函数的函数有无数个，解析式都为f(x)=0，只要定义域关于原点对称即可.

7.映射的定义.

8.映射f:A→B说的是两个集合A与B间的一种对应，两个集合是有序的.映射是由集合A、集合B和对应法则三部分组成的一个整体，判断一个对应是不是映射应该抓住关键：A中之任一对B中之唯一.A中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B中元素没有这个要求，可以允许有剩余；映射只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射.映射所涉及两个集合A、B，可以是数集，也可以是点集或其他类元素构成的集合. 导入新课

前面一段，我们一起研究了函数的单调性、奇偶性以及映射有关概念及问题，并掌握了一定的分析问题、解决问题的方法，这一节，我们将对这部分内容集中训练一下，使大家进一步熟悉函数的有关概念、基本方法与基本的解题思想；并通过典型例题进一步提高大家的分析问题、解决问题的能力. 推进新课 基础训练

思路1 1.对应①：A={x|x∈R}，B={y||y|＞0}，对应法则f:

1→y； x 对应②：A={(x,y)||x|＜2,|y|＜2,x∈Z,y∈Z}，B={-2,-1,0,1,2}，对应法则f:(x,y)→x+y，下列判断正确的是( )

A.只有①为映射 B.只有②为映射 C.①和②都是映射 D.①和②都不是映射 2.已知f(x)、g(x)是定义在R上的两个不恒为零的函数，若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是( )

A.奇函数 B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 3.设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：

①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增； ②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增； ③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减； ④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减. 其中正确的命题是( )

A.①和③ B.①和④ C.②和③ D.②和④

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4.指出下列函数的单调区间，并说明在单调区间上函数是增函数还是减函数： (1)f(x)=-x2+x-6;(2)f(x)=? 解答：1.A 2.A 3.C

4.(1)函数f(x)=-x2+x-6单调区间为(-∞， (-∞，

x;(3)f(x)=-x3+1.

11]，[，+∞)，f(x)在 2211]上为增函数，f(x)在[，+∞)上为减函数. 22 (2)f(x)=?x单调区间是[0，+∞)，f(x)在[0，+∞)上是减函数；

(3)f(x)=-x3+1单调区间为(-∞，+∞)，f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.

思路2

1.映射f:X→Y是定义域X到值域Y上的函数，则下面四个结论中正确的是…( ) A.Y中元素在X中不一定有元素与之对应

B.X中不同的元素在Y中有不同的元素与之对应 C.Y可以是空集 D.以上结论都不对

2.下列函数中，既非奇函数又非偶函数，并且在(-∞,0)上是增函数的是( ) A.f(x)=5x+2 B.f(x)= C.f(x)=

x

1-1 D.f(x)=x2 x 3.设f(x)为定义在数集A上的增函数，且f(x)＞0，有下列函数：①y=3-2f(x)；②y=

1；f(x)③y=[f(x)]2；④y=f(x).其中减函数的个数为( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

1?x2 4.函数f(x)=( )

x A.是偶函数 B.是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 5.函数f(x)=

a(a≠0)在区间(-∞,0)上是( ) x A.增函数 B.减函数

C.a＞0时是增函数，a＜0时是减函数 D.a＞0时是减函数，a＜0时是增函数 6.对于定义在R上的函数f(x)，有下列判断： (1)f(x)是单调递增的奇函数； (2)f(x)是单调递减的奇函数； (3)f(x)是单调递增的偶函数； (4)f(x)是单调递减的偶函数.

其中一定不成立的是_________________. 解答：1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.(3)(4)

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应用示例

思路1

例1 若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么…( ) A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4) C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1) 分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程. 解法一：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，由二次函数f(x)开口方向向上，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)，

因为当x＜2时，y=f(x)为单调减函数，又因为0＜1＜2，所以f(0)＞f(1)＞f(2)， 即f(2)＜f(1)＜f(4)，故选A. 解法二：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，由二次函数f(x)开口方向向上，画出函数f(x)=x2+bx+c的草图如右图所示：

由草图易知：f(2)＜f(1)＜f(4)，故选A.

点评：(1)解法一是先将要比较大小的几个数对应的自变量通过函数图象的对称轴化到该函数的同一个单调区间内，然后再利用该函数在该区间内的单调性来比较这几个数的大小；解法二是根据所给条件画出函数的草图，只需将要比较大小的几个数对应的自变量进行比较大小即可，当然，这与函数图象的开口方向也有关.

记忆技巧：若函数图象开口向上，则当自变量离对称轴越远时函数值越大； 若函数图象开口向下，则当自变量离对称轴越远时函数值越小. (2)通过此题可将对称语言推广如下：

①若对任意实数x，都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴； ②若对任意实数x，都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=

a?b是函数f(x)的对称轴. 2 例2 有下列说法：

①函数f(x)在两个区间A、B上都是单调减函数，则函数f(x)在A∪B上也是单调减函数；

②反比例函数y=

1在定义域内是单调减函数； x ③函数y=-x在R上是减函数；

④函数f(x)在定义域内是单调增函数，则y=[f(x)]2在定义域内也是单调增函数.其中正确的说法有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分析：本题是有关函数单调性的选择题，解决时采取各个击破的方法. 解：①不正确.因为函数f(x)=

1在区间A=(-∞,0)，B=(0,+∞)上都是单调减函数，但f(x)x在区间A∪B=(-∞,0)∪(0,+∞)上是没有单调性的，所以①不正确、 ②不正确.反比例函数y=

1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是没有单调性的、 x中鸿智业信息技术有限公司

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③正确、

④不正确.因为函数f(x)=x在定义域(-∞,+∞)内是单调增函数，但是函数y=[f(x)]2=x2在区间(-∞,0]上单调减，在区间[0,+∞)上单调增，而在定义域(-∞,+∞)内是没有单调性的，所以④不正确.

所以正确的说法只有1个，故本题选A. 点评：(1)在“反比例函数y=

1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是没有单调性”这一点上，学生x经常会出错，教师应向学生强调.

(2)对于要让我们判断正确与否的问题，要学会通过举反例的方法来判断.

(3)要判断某个说法正确，需要严密的推理论证；要判断某个说法不正确，只需要取出一个反例即可.

例3 定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求实数a的取值范围.

分析：本题所给函数为抽象函数，没有具体的函数解析式，要求实数a的取值范围，关键是脱去“f”，因此要通过讨论，在f(x)的单调区间上，利用函数的单调性使问题获得解决. 解：因为f(x)的定义域为(-1,1)，所以???1?1?a?1,2解得0＜a＜.①

3??1?1?3a?1, 原不等式f(1-a)+f(1-3a)＜0化为f(1-3a)＜-f(1-a)，

因为f(x)是奇函数，所以-f(1-a)=f(a-1)，所以原不等式化为f(1-3a)＜f(a-1)， 因为f(x)是减函数，所以1-3a＞a-1，即a＜ 由①和②得实数a的取值范围为(0,

1.② 21). 2 点评：(1)学生容易忘记定义域的限制，因此要重视定义域在解题中的作用.

(2)解关于抽象函数的函数方程或函数不等式，基本思路是依据函数的单调性脱去“f”，要注意函数单调性定义与奇偶性定义的正确运用. 若函数f(x)在区间A上递增，且f(x1)＜f(x2)，则??x1,x2?A；

?x1?x2?x1,x2?A 若函数f(x)在区间A上递减，且f(x1)＜f(x2)，则?.

x?x2?1 变式训练

问题：请对题目条件作适当改变，并写出解答过程. (学生有可能会得出如下变式)

(错误)变式一：定义在(-1,1)上的偶函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求实数a的取值范围.

点拨：教师引导学生发现此变式一是错误的，因为偶函数f(x)在整个定义域上不可能是单调函数(图象关于ｙ轴对称)，鼓励学生再改.

(不当)变式二：定义在(-1，1)上的偶函数f(x)在(-1,0]上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求实数a的取值范围.

点拨：教师引导学生发现此变式二的题目是正确的，但是没有办法解决.因为解决此类问题是依据函数的单调性脱去“f”，由f(1-a)+f(1-3a)＜0，得f(1-a)＜-f(1-3a)，不等式右边的

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