浅谈数学中的变形技巧

浅谈数学中的变形技巧

第一章 绪论

数学是一个有机的整体，各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，从而构成了一个相互交错的立体空间.所以为了培养数学学习中的运算能力、逻辑能力、推理能力、空间想象能力及综合应用数学知识分析解决实际问题的能力，除了对各单元知识，及一些开放探索性问题，实践应用性问题等综合内容进行系统复习外，在最后阶段的复习中，应对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视，并有意识的运用一些数学方法去解决问题，这样才能使我们的数学学习提高到一个新的层次、新的高度.常用的数学方法，是针对不同的数学知识而定的一种策略.不同的问题可以用不同的方法，相同的问题也可以有各种不同的方法（即所谓的一题多解）.各种数学方法与数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富，并且是数学知识所不能替代的.

近些年来，在中学数学考试中的考试题目越来越新颖，特别是在中考，高考的试题当中，要使考生在短短的两小时之类完成所有的题量，这无疑对大部分考生来说是很难完成的.有些试题的技巧性又非常强，考生一味的再上面钻牛角尖的话，这不但会浪费很多时间，甚至到最后还可能得不到正确的答案.所以我们有必要针对有些题采取正确的解题技巧，对有些题作出一些变形，这不仅能使试题变得简单明了，而且还能使我们做起题来得心应手，更增加了我们的解题信心和提高了对数学的兴趣.

本文从先对数学中变形进行概述性介绍，接着主要从变形技巧在初等数学和代数中的一些具体的应用加以阐述说明.

第二章 数学变形的概述

2.1 什么是数学变形

什么是数学变形，这是一个很模糊的概念，总而言之，它是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段.它属于技能性的知识，既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的.当然它也存在着技巧和方法，也就是人

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们在学习数学的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用.

2.2 在中学数学中常用的基本方法 1逻辑学中的方法

例如分析法（包括逆证法）、综合法、反证法、归纳法、穷举法（要求分类讨论）等.这些方法既要遵循从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色.

2数学中的一般方法

例如建模法、消元法、降次法、代入法、图像法（也称坐标法.代数中常用图像法，几何中常用坐标法）、向量法、比较法（数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同）、放缩法、同一法、数学归纳法（这与逻辑学中的不完全归纳法不同）等.这些方法极为重要，应用也很广泛.

3数学中的特殊方法

例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法（也称之为中间变量法）、拆项补项法（含有添加辅助元素实现化归的数学思想）、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等.这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之.而变形也是数学中一种重要的方法之一.

第三章 变形技巧在初等数学中的一些应用

变形是数学数学解题活动中最基本而又常用的方法.它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的.例如勾股定理可表述为c?a?b，亦可表述为

a?c?b，b?c?a等.若问3?22222222213这显然是一个不屑回答的问题，但若问1????，

100就成了最富灵活性的问题，例如1?1?1，1?(?1)，1?sin??cos?等.可见“变形”

22实在是一个内涵十分丰富的概念，在某些著名的数学问题解决中，变形技巧的巧妙运用也

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是至关重要的一环.我们在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强.本文主要介绍一元二次方程，三角函数，“0”，“1”等的变形应用，希望对这几方面的变形应用的介绍，对于其他的解题变形能起到抛砖引玉的功效.下面我们来谈谈这几种变形技巧的应用.

3.1 一元二次方程的变形技巧

对有些含有（或可转化）一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题化繁为简.下面列举例子说明.

例 1.1 已知?,?是方程x2?x?1?0的两根，求?4?3?的值. 解：因为?是方程x2?x?1?0的根 ??2???1?0，?2???1 则?4?(??1)2??2?2??1???1?2??1?3??2， 所以，?4?3??3??2?3??3(???)?2

又因为?，?是方程x2?x?1?0的两根，?????1，

???3??5

4分析：如果要求出?，?的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发这样可以提高解题的效率，节省时间.

例1.2 若m，n是一元二次方程x?2000x?7?0的两个根，求

(m?1999m?6)(n?2001n?8) 的值.

222解：由题设得

m?2000m?7?0，n?2000n?7?0，

22及m?n??2000，mn?7

?(m?1999m?6)(n?2001n?8)

22=(m?2000m?7?m?1)(n?2000n?7?n?1)

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=?(m?1)(n?1)=?mn?(m?n)?1=?7?2000?1?1992

分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决.不必求出m和n的值.

例1.3设实数s、t分别满足19s2?99s?1?0，t2?99t?19?0，并且st?1，

求

st?4s?1t 的值.

解：由题设可得99s??(19s2?1)，99t??(t2?19).

st19s?1t?1922两式相除，得?.

由比例的基本性质，得st2?19s?19s2t?t， 整理得19s2t?19s?st2?t，即19s(st?1)?t(st?1) 因为st?1，所以t?19s， ?st?4s?1ts?19s?4s?1(19s?1)?4s?99s?4s?95s=====?5

19s19s19s19s2 分析：通过仔细的观察可知只要对已知条件19s2?99s?1?0，t2?99t?19?0进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题.

总结：我们在解决一元二次方程的代数问题时，首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所要求的式子，观察他们之间有什么特点，然后再充分利用已知条件来解决所要求的问题.特别是要灵活应用韦达定理：即如果x1，x2为方程ax?bx?c?0(a?0)的两个根，则x1?x2??ba2，x1?x2?ca.在解这类题目时，可以先从已知条件出发，也可以从

结论入手.关键是要善于观察所要求式子的特点.

3.2 三角函数的变形技巧

三角函数是初等函数的重要组成部分，它与初等函数、初等几何的关系十分密切.特别是三角函数的求值问题，而三角函数求值的关键是合理地进行三角恒等式的变形，其基本思路是“三看”，即一看角、二看函数名称、三看结构特征.除此之外，我们还常常应用代

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