初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案)

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初三数学九上压轴题难题提高题培优题

一．解答题（共 8 小题）

1．如图，抛物线 y=ax 2 +bx+c（a≠0）经过点 A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），

交 y 轴于点 M．

（ 1）求抛物线的表达式；

（ 2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点， 作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点

D 的坐标；

（ 3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为 顶点的三角形与△ MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系

xOy 中，顶点为 M 的抛物线 y=ax 2+bx （a＞0）经

过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B， AO=OB=4 ，∠AOB=120 °． （ 1）求这条抛物线的表达式； （ 2）联结 OM ，求∠AOM 的大小；

（ 3）如果点 C 在 x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点 C 的坐标．

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3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax 2+bx+c 交 x 轴于 A（2，0），

B（ 6， 0）两点，交 y 轴于点

．

（ 1）求此抛物线的解析式；

（ 2）若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点 D，作⊙D 与 x 轴相切，⊙ D 交 y 轴于点 E、 F 两点，求劣弧 EF 的长；

（ 3） P 为此抛物线在第二象限图象上的一点， PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G， 试确定 P 点的位置，使得△ PGA 的面积被直线 AC 分为 1 ：2 两部分？

4．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 A（﹣2，﹣4），OB=2 ，抛物线 y=ax 2+bx+c

经过点 A、O、B 三点．

（ 1）求抛物线的函数表达式；

（ 2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值；

（ 3）在此抛物线上，是否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、 B 为顶点的四边

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形是梯形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．已知抛物线 y= ﹣x2+bx+c 经过点 A（0，1），B （4，3）．

（ 1）求抛物线的函数解析式； （ 2）求 tan ∠ABO 的值；

（ 3）过点 B 作 BC ⊥x 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标．

6．如图 1，已知抛物线的方程 C1：y=﹣ （x+2 ）（x﹣m）（m＞ 0）与 x 轴交于点

B、 C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧．

（ 1）若抛物线 C1 过点 M（2，2），求实数 m 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，求△ BCE 的面积；

（ 3）在（1 ）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+EH 最小，求出点 H 的坐标；

（ 4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的

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三角形与△BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由．

7．如图，已知抛物线 y= x2 ﹣（b+1 ）x+ （b 是实数且 b＞ 2）与 x 轴的正半

轴分别交于点 A、 B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点

C．

（ 1）点 B 的坐标为

，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示）；

（ 2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b， 且△PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在， 求出点 P 的坐标；如

果不存在，请说明理由；

（ 3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得△QCO ，△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似 （全等可作相似的特殊情况） ？如果存在， 求出点 Q

的坐标；如果不存在，请说明理由．

8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形

ABCD 的三个顶点 B（ 1，0），C（3，

0），D（3，4）．以 A 为顶点的抛物线 y=ax 2+bx+c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，

沿线段 AB 向点 B 运动．同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点

P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位．运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC

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