1.1.1 集合的含义与表示

1.1 集合

1.1.1 集合的含义与表示

整体设计

教学分析

集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,结合实例给出元素、集合的含义,课本注重体现逻辑思考的方法,如抽象、概括等.

值得注意的问题:由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时先引导学生阅读课本,然后进行交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校,可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题,让学生读后回答问题,再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述. 三维目标

1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.

2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识. 重点难点

教学重点:集合的基本概念与表示方法.

教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合. 课时安排 1课时

设计方案（一）

教学过程

导入新课

思路1.军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对

象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.

思路2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时,教师对学生的活动给予评价.接着教师

指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.

推进新课 新知探究 提出问题

①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？” ②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？

③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.

④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？ ⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？ ⑥世界上的高山能不能构成一个集合？

⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？

⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？ ⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？

⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？

讨论结果： ①能. ②能.

③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.

④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于. ⑤能,是珠穆朗玛峰.

⑥不能.

⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性. ⑧3个.

⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.

⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的. 提出问题

阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号. 活动：先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电话号码一样.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握. 讨论结果：

常见数集的专用符号.

N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合); *

N或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合); Z:整数集(全体整数的集合); Q:有理数集(全体有理数的集合); R:实数集(全体实数的集合). 提出问题

①前面所说的集合是如何表示的？

②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？

③集合共有几种表示法?

活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示. ②教师可以举例帮助引导:

例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意：大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,…,100},自然数集N:{0,1,2,3,4,…,n,…};区分a与{a}:{a}表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合

时不必考虑元素的前后次序;相同的元素不能出现两次.

又例如,不等式x-3>2的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示.可以表示为{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法是描述法. ③让学生思考总结已经学习了的集合表示法. 讨论结果：

①方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成的集合记为A等等;

方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等.

②列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;

描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.

③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法. 应用示例

思路1

1.下列各组对象不能组成集合的是( )

A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=

1x图象上所有的点

活动：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.

在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性;而选项B中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合. 答案：B

变式训练

1.下列条件能形成集合的是( )

A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 答案：D

2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1 在数集{2x,x2-x}中,实数x的取值范围是.

分析:实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x2-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值范围是{x|x<0或03}. 答案：{x|x<0或03}

点评：本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合. 2.用列举法表示下列集合:

(1)小于10的所有自然数组成的集合;

(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; (3)由1~20以内的所有质数组成的集合. 活动：学生先思考或讨论列举法的形式,展示解答过程.当学生出现错误时,教师及时加以纠正.

利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入大括号“{}”内,并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的. 提示学生注意以下方面: (1)自然数中包含零;

(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x2=x的根是x=0,x=1;

(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.

解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么 A={0,1}.

(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么

C={2,3,5,7,11,13,17,19}.

点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容.

如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;

列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式. 变式训练

用列举法表示下列集合:

(1)所有绝对值等于8的数的集合A; (2)所有绝对值小于8的整数的集合B. 答案：(1)A={-8,8};

(2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}. 3.试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

活动：先让学生回顾列举法表示集合的步骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时,教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10

用描述法表示集合时,用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

在(1)中利用条件中现有元素代表符号x,集合中元素的共同特征就是满足方程x2-2=0. 在(2)的条件中没有元素代表符号,故要先设出,用一个小写英文字母表示即可;集合中元素的共同特征有两个:一是大于10小于20(用不等式表示),二是整数(用元素与集合的关系符号“∈”来表示).

解：(1)设方程x2-2=0的实根为x,它满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为 A={x∈R|x2-2=0}.

2

方程x-2=0的两个实数根为2,?2,因此,用列举法表示为