2019版高考数学二轮复习第1篇专题2三角函数解三角形第1讲小题考法 - - 三角函数的图象与性质学案

第1讲 小题考法——三角函数的图象与性质

一、主干知识要记牢

1．三角函数的图象及常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 在 ?－π＋2kπ，π＋2kπ??2?2??单调性 (k∈Z)上单调递增；在在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 π?π?在?－＋kπ，＋kπ?2?2?(k∈Z)上单调递增 ?π＋2kπ，3π＋2kπ??2?2??(k∈Z)上单调递减 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； 对称性 π对称轴：x＝＋kπ(k∈2Z) π??对称中心：?＋kπ，0??2?(k∈Z)； 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：?Z) ?kπ，0?(k∈??2?2.三角函数的两种常见的图象变换 向左φ＞或向右φ＜

(1)y＝sin x―→平移|φ―|个单位1横坐标变为原来的 倍

ω

―――――――→y＝sin(ωx＋φ) 纵坐标不变

纵坐标变为原来的A倍

――→y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)． 横坐标不变1

横坐标变为原来的 倍

ω

(2)y＝sin x―――――――→y＝sin ωx

纵坐标不变向左(φ＞0)或向右(φ＜0)

―――――――→y＝sin(ωx＋φ)

φ

平移||个单位

ω

y＝sin(x＋φ)

纵坐标变为原来的A倍

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)． ――→横坐标不变二、二级结论要用好

1．sin α－cos α＞0?α的终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．

2．sin α＋cos α＞0?α的终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．

三、易错易混要明了

求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．

?π??π?如求函数f(x)＝2sin?－x?的单调减区间，应将函数化为f(x)＝－2sin?x－?，转

3??3???π?化为求函数y＝sin?x－?的单调增区间．

3??

考点一 三角函数的图象及应用

1．函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法 字母 确定途径 由最值确定 由最值确定 由函数的 周期确定 由图象上的 特殊点确定 说明 A B A＝B＝最大值－最小值 2最大值＋最小值 2相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或12π最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为个周期，ω＝ 4T一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解 ω φ 2.三角函数图象平移问题处理的“三看”策略

?π?1．(2018·豫南联考)将函数y＝sin?x－?的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍

4??

(纵坐标不变)，再向右平移

π

个单位，则所得函数图象的解析式为( B ) 6

?x5π?A．y＝sin?－? ?224??x5π?C．y＝sin?－? ?212?

?π?解析 函数y＝sin?x－?经伸长变换得

4???1π?y＝sin?x－?，再作平移变换得

?2

1

4?π

?xπ?B．y＝sin?－?

?23?

7π??D．y＝sin?2x－? 12??

??????y＝sin??x－6?－?＝sin?x－?，故选B．

2324

??

?

?

?

?

π?π?2．(2018·商丘二模)将函数y＝sin?ωx＋?(ω＞0)的图象向右平移个单位后，得

6?3?到y＝g(x)，g(x)为偶函数，则ω的最小值为( B )

A．1 1

C． 2

B．2 3D． 2

π1π

π?π?解析 将函数y＝sin?ωx＋?(ω＞0)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)＝6?3?ωππ?ωππ??π?π??＋?，sin?ω?x－?＋?＝sin?ωx－由于函数g(x)为偶函数，所以－＋＝kπ

3?6?36?36???π

＋，∴ω＝－3k－1，∴ωmin＝－3×(－1)－1＝2.故选B． 2

?π?3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f??的?4?

值为__3__．

311ππ3ππ

解析 由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝时，函

412646πππ

数f(x)取得最大值，∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵0<φ<π，

626π?ππ??π??ππ?∴φ＝，∴f(x)＝2sin?2x＋?，则f??＝2sin?＋?＝2cos ＝3．

6?66??4??26?

考点二 三角函数的性质及应用

1．求函数单调区间的方法

(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．

(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法

利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．

3．求三角函数周期的常用结论

2π

(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的

|ω|π

最小正周期为．

|ω|

1

(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的

211

对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．

42

1．已知f(x)＝2sinx＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为( B )

A．2π，?

2

?3π，7π?

8??8?

B．π，?

?3π，7π?

8??8?