第八章 第三讲 抛物线

第8章 第3讲

时间：60分钟 满分：100分

一、选择题(8×5＝40分)

1．(2010·河北石家庄一模)动点P到A(0,2)点的距离比它到直线l：y＝－4的距离小2，则动点P的轨迹方程为( )

A．y2＝4x C．x2＝4y

B．y2＝8x D．x2＝8y

解析：由抛物线定义可知，A(0,2)为其焦点，y＝－2为其准线，故动点P的轨迹方程为x2＝8y.

答案：D

2．(2010·湖北襄樊调研统一测试)抛物线y＝4x的焦点坐标为( ) A．(1,0) C．(0,1)

B．(0，

1

) 16

2

1

D．(，0)

8

11p

解析：将抛物线方程化为标准方程：x2＝y，可知抛物线的焦点在y轴上，由2p＝，44211

＝，可知焦点坐标为(0，)． 1616

答案：B

3．(2010·四川成都二诊)设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点．若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为( )

A．5 C．10

B．8 D．12

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4， 又E到y轴的距离为3， ∴

x1＋x2

＝3.∴|AB|＝10. 2

答案：C

4．(2010·河北衡水中学一模)AB是抛物线y＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )

A．2

1

B. 2

2

3C. 2

5D. 2

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB过焦点，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝x1＋x2＋1＝4，则3

有x1＋x2＝3，即C的横坐标为. 2

答案：C

xy

5．(2010·广西四市联合调研)若抛物线y＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，

62

2

2

2

则p的值为( )

A．2 C．4

B．－2 D．－4

pp

解析：y2＝2px的焦点坐标为(，0)，椭圆的右焦点为(2,0)，则有＝2，故p＝4.

22答案：C

6．(2010·四川宜宾二诊)从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为( )

A．10 C．6

B．8 D．4

解析：由抛物线的定义可知： |PM|＝|PF|＝5，

p

又∵|PF|＝xP＋＝xP＋1＝5，

2∴xP＝4，yP＝4.

11

∴S△PMF＝×|MP|×yP＝×5×4＝10.

22答案：A

7．(2009·四川，9)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )

A．2 11

C. 5

B．3 D.37 16

解析：∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)|4×1－3×0＋6|

为抛物线的焦点)，所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1的距离为＝2，

223＋4故选A.

答案：A

xy

8．椭圆C1：＋＝1的左准线为l，左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，

43

2

2

焦点是F2，C1与C2的一个交点为P，则|PF2|的值等于( )

4A. 3

8B. 3D．8

C．4

解析：设|PF2|＝m，点P到直线l的距离为d，则由抛物线定义得d＝|PF2|＝m.

又由点P在椭圆上，由椭圆第一定义得|

4－m1|PF|1

PF1|＝4－m，由椭圆第二定义得1＝e＝，∴＝，解得m

d2m28

＝. 3

答案：B

二、填空题(4×5＝20分)

9．(2009·山东青岛一模)抛物线y＝－2x2的焦点坐标为________． 11解析：x2＝－y＝－2py，焦点为(0，－)．

281

答案：(0，－) 8

10．(2010·重庆，13)已知过抛物线y＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.

解析：∵y2＝4x，∴p＝2，F(1,0)， p

又∵|AF|＝2，∴xA＋＝2，∴xA＋1＝2，

2∴xA＝1，即AB⊥x轴，F为AB的中点， ∴|BF|＝|AF|＝2. 答案：2

11．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a＝________.

解析：设正三角形边长为x， 1

则363＝x2sin60°，∴x＝12，

2当a＞0时，将(63，6)代入 y2＝ax得a＝23，

当a＜0时，将(－63，6)代入 y2＝ax得a＝－23，故a＝±23. 答案：±23

12．(2010·广西桂林一模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，C上的点M在C的准线

2

→→1→→

上的射影为M′，若MM′·MF＝|MM′|·|MF|，则点M的横坐标为________．

2

→→→→

解析：∵MM′·MF＝|MM′||MF|cos∠M′MF 1→→＝|MM′||MF|， 2

1

∴cos∠M′MF＝.∴∠M′MF＝60°.

2

又∵|M′M|＝|MF|，故△MM′F为正三角形． 设M(x，y)，则M′(－1，y)，F(1,0)， ∴|M′F|＝(－1－1)＋y＝|MM′|＝x＋1， 整理得y＝x＋2x－3，

将y2＝4x代入y2＝x2＋2x－3得x2－2x－3＝0， 即x＝3或－1(舍)． 答案：3

三、解答题(4×10＝40分)

13．抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率． 解析：(1)由已知可设抛物线方程为y2＝2px. ∵点P(1,2)在抛物线上，∴p＝2.

故所求抛物线的方程是y＝4x，准线方程是x＝－1.

y1－2y2－2

(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝x1－1x2－1(x2≠1)．

∵PA与PB斜率存在且倾斜角互补， ∴kPA＝－kPB.

又∵A、B点均在抛物线上，

2

∴y21＝4x1，y2＝4x2.

2

2

2

2

2

y2y21∴x1＝，x2＝2.

44∴y1－2y2－2＝－. 22y1y2－1－144

∴y1＋2＝－(y2＋2)． ∴y1＋y2＝－4.