2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试题A 解析版

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的焦点坐标为F?1,0?，则直线AB的方程为x?my?1， 联立抛物线的方程得y2?4my?4?0，所以y1?y2?4m，y1y2??4， 则有

1313?m?，?m?，（6分） k1y1k2y211323211112??(m?)?(m?)=2m?6m(?)?9(?)因此222 k1k2y1y2y1y2y12y2?y?y2??2y1y2 y?y2?2m2?6m?1?9?12y1y2y12y22?4m??8?5m2?9.（9分） 4m?2m2?6m??9??4162119?.（10分） 因此，当且仅当m?0时，2有最小值2k1k2225．（本小题满分11分）

已知定义域为R的函数g(x)?x2?2x?1?m在[1,2]上有最大值1，设f(x)?（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若不等式f(log3x)?2klog3x?0在x?[3,9]上恒成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）若函数h(x)?|ex?1|?f(|ex?1|)?3k?|ex?1|?2k有三个不同的零点，求实数k的取值范围（e为自然对数的底数）． 25．（本小题满分11分）

【解析】（Ⅰ）因为g?x???x?1??m在[1,2]上是增函数， 所以g?x?max?g?2???2?1??m?1，解得m?0．（2分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得f?x??x?222g(x). x1?2， x所以不等式f?log3x??2klog3x?0在x?[3,9]上恒成立等价于2k?上恒成立.（3分） 令t?1?log3x?2?2?1在x?[3,9]log3x1?1?，因为x??3,9?，所以t??,1?， log3x?2??1??2?则有2k?t2?2t?1在t??,1?恒成立.（4分）

2令s?t??t?2t?1，t??,1?，则s?t?min?s?1??0，

?1??2? 9

所以2k?0，即k?0，所以实数k的取值范围为???,0?．（6分） （Ⅲ）因为h?x??ex?1??3k?2??ex?1?2k?1，

x令q?e?1，由题意可知q?[0,??)，

2令H?q??q??3k?2?q?2k?1，q?[0,??)，（7分）

2则函数h?x??ex?1??3k?2??ex?1?2k?1有三个不同的零点等价于

2H?q??q2??3k?2?q?2k?1在q?[0,??)上有两个不同的零点，（8分）

当q?0时k??11，此时方程H?q??0?q?0,q?，此时关于x的方程有三个零点，符合题意； 22当q?0时，记方程H?q??0的两根为q1，q2，且q1?q2，0?q1?1，q2?1，

?H?0??0?所以?H?1??0，解得k?0.

???0?综上，实数k的取值范围是(0,??)U{?}．（11分）

12 10