研究生高等代数复习题

51.（1）实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类；

（2）某四元二次型有标准形2y22221?3y2?y3?4y4，求其规范形.

?300?52.设A???0?14??（1）求A的最小多项式；（2）求A的初等因子；（3）求A的若???1?13??当标准形.

53.设?1?(1,1,?1,?1),?2?(1,?1,?1,1),?3?(1,?1,1,?1)，

在

R4中求与?1,?2,?3同时正交的单位向量（内积按通常的定义）.

54.已知Pn?n的两个子空间V??AA??A?Pn?n??n?n?1????，V2???AA???A?P??， 证明：Pn?n?V1?V2．

55.求下面矩阵A的列空间在R4中的正交补的一个标准正交基.（15分）

56.设

A为n阶方阵，W??x?Rn|Ax?0?，W??x?Rn12|(A?E)x?0?

证明：A为幂等矩阵当且仅当Rn?W1?W2.

57.设A是数域P上线性空间V的线性变换，?1,?2是

A的特征值，且?1??2，

V?,V?分别是对应于?,?的特征子空间，试证：V1212?1?V?是直和.

2

58.设?1,?2,?3,?4是4维空间

?10???12?12??2?2V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为

21??13?，求A的核和值域. 55??1?2?

59.已知向量?1??1,2,4,3?,?2??1,?1,?6,6?,?3???2,?1,2,?9?,?4??1,1,?2,7?,

TTTT???4,2,4,a?（2）求

T，（1）求线性子空间W?L(?1,?2,?3,?4)的维数与一个基；

a 的值，使得??W ，并求?在（1）所选基下的坐标.