随机过程试题

一、填空题（每小题3分，共15分）

1、设随机变量X的特征函数为 ?X(t)?(1?p?pe)，则EX? 。 2、设{(X(t),Y(t)),t?T}为二维实值随机过程，则它们的互协方差函数为

CXY(t1,t2)? 。

itn3、设{X(n)，n?1,2,?}是独立同分布的随机变量序列，P?X(n)?1??p，

P?X(n)?0??1?p，则对m?n，X的自相关函数RX?m,n?? 。

4、全期望公式为 E??E(YX)??= 。

5、非齐次泊松过程{N(t),t?0}，其中强度函数为?(t)?t?sinat(a?0)，则

E[N(t)]? 。

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、下面的随机过程中不一定是二阶矩过程的是（ ）

（A）严平稳过程 （B）宽平稳过程 （C）正态过程 （D）泊松过程

2、关于齐次马氏链的遍历性与平稳分布，下面说法正确的是（ ） （A）平稳分布即为稳态概率

（B）平稳分布存在，则齐次马氏链具有遍历性 （C）马氏链不具有遍历性时，其平稳分布也可能存在 （D）平稳分布是唯一的

3、已知标准正态分布随机变量的特征函数为?(?)?e函数为 ?X(?)?（ ） （A）exp{?i?????222??22，则X?N(2?,?2)的特征

} （B）exp{i???2??222}

2 （C）exp{??i?????22} （D）exp{?i?????22}

4、下面的随机过程中不一定是马尔可夫过程的是（ ） （A）宽平稳过程 （B）非齐次泊松过程 （C）维纳过程 （D）泊松过程

1

N(t)5、设Y(t)??n?1X(n)是复合泊松过程，E(|X(n)|2)???,n?1,2,?，则下面说法错误

的是（ ）

（A）mY(t)??tE(X(1)) （B）DY(t)??tD(X(1)) （C）mY(t)??tE(X(n)) （D）DY(t)??tE(X2(n)) 三、计算题

1、（20分）设齐次马氏链{X(n),n?1,2,3?}的状态空间E?{1,2,3}，状态转移概率矩阵

???P???????1213012025?0??2? 3??3??5?（1） 画出概率转移图； （2）讨论其遍历性，并求平稳分布； （3）求概率P{X(4)?3|X(1)?1,X(2)?2}； （4）若已知X(1)的分布律如下表所示:

X(1) 1 122 133 16p 分别计算P{X(1)?1,X(2)?2,X(3)?3}以及X(3)的分布律。

2、（15分） 如果顾客按平均率为每分钟2个的泊松过程到达，

（1）求[1,3)和[3,5)两个时间区域内各有3个顾客来到的概率； （2）求[1,3)和[3,5)两个时间区域内共有3个顾客来到的概率； （3）求相邻两个顾客到达时间间隔在1分钟到3分钟之间的概率。

3、(9分) 若从t?0开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币作试验，定义随机过程

?cos(?t), t时刻抛得正面，X(t)??

2t， t时刻抛得反面，?(1) 试画出X(t)的两条样本曲线;

2

（2）分别求出t?

12和 t?1时的一维分布函数；

4、（18分） 设X(t)?Acos?t?Bsin?t,???t???， 其中A,B是非单点分布的实

随机变量且相互独立，E(A)?E(B)?0，D(A)?D(B)??2，?是常数。 试判断：（1）X(t)是否为宽平稳过程？ （2）X(t)是否具有遍历性？

四、证明题（8分）

设?Xn?为独立同分布的实随机变量序列，试证明 l.i.mYn??n??

3

EX21nn??,DXn??，令Yn?n?Xi，

i?1