考研数学公式（word版，）

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2．Ax?????0?

①如果?1,?2,?,?e是Ax??的一组解，则

c1?1?c2?2???ce?e也是Ax??的解?c1?c2???ce?1 c1?1?c2?2???ce?e是Ax?0的解?c1?c2???ce?0 A?i????i

A?c1?1?c2?2???ce?e??c1A?1?c2A?2???ceA?e ??c1?c2???ce??

特别的： 当?1,?2是Ax??的两个解时，?1??2是Ax?0的解

②如果?0是Ax??的解，则n维向量?也是Ax??的解????0是Ax?0的解。 解的情况判别

方程：Ax??，即x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n

???A|?????A?????1,?2,?,?n,??????1,?2,?,?n?

无解???A|?????A? 唯一解???A|?????A??n 无穷多解???A|?????A??n 方程个数m：

??A|???m,??A??m

①当??A??m时，??A|???m，有解

②当m?n时，??A??n，不会是唯一解 对于齐次线性方程组Ax?0，

只有零解???A??n（即A列满秩） （有非零解???A??n）

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特征值特征向量

?是A的特征值??是A的特征多项式?E?A的根。

两种特殊情形：

（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。 ?? 1? A??0?0?**???? ? 3???*x?? 20?*??x?? 3??x?? 1??x?? 2??x?? 3?

? 20x?? 1 xE?A?00 （2）r?A??1时：A的特征值为0,0,?,0,tr?A? 特征值的性质

命题：n阶矩阵A的特征值?的重数?n?r?? E?A? 命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则 ①? 1? 2?? n?A ②? 1?? 2???? n?tr?A? 命题：设?是A的特征向量，特征值为?，即A????，则 ①对于A的每个多项式f?A?，f?A???f?x??

②当A可逆时，A???11??，A*??|A|?? 命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则

①f?A?的特征值为f?? 1?,f?? 2?,?,f?? n?

②A可逆时，A?1的特征值为

1,1,?,1? 1? 2? n

A*的特征值为

|A||A||A|,,?, ? 1? 2? n ③AT的特征值也是? 1,? 2,?,? n 特征值的应用

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①求行列式|A|?? 1,? 2,?,? n ②判别可逆性 ?是A的特征值?? E?A?0?A?? E不可逆 A?? E可逆??不是A的特征值。

当f?A??0时，如果f?c??0，则A?cE可逆

若?是A的特征值，则f???是f?A?的特征值?f????0。 f?c??0?c不是A的特征值?AcE可逆。 n阶矩阵的相似关系

当AU?UA时，B?A，而AU?UA时，B?A。 相似关系有i）对称性：A~B?B~A U?1AU?B，则A?UBU?1

ii）有传递性：A~B，B~C，则A~C

U?1AU?B，V?1BV?C，则

?V?1 ?UV??1A?UV??V?1U?1AUVBV?C

命题 当A~B时，A和B有许多相同的性质 ①A?B ②??A????B?

③A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

A与B的特征向量的关系：?是A的属于?的特征向量?U?是B的属于?的特征向量。

A?????BU?1??1?????U???1 ? ?U?1

AUU?1A???U??U?1?1????U???1

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

f?x1,x2,?,xn?变为g?y1,y2,?,yn?，则它们同时正定或同时不正定

A~?B，则A，B同时正定，同时不正定。

T 例如B?CAC。如果A正定，则对每个x?0

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xTBx?xTCTACx??Cx?TACx?0

（C可逆，x?0，?Cx?0！） 我们给出关于正定的以下性质 A正定?A~?E

?存在实可逆矩阵C，A?CTC。 ?A的正惯性指数?n。 ?A的特征值全大于0。

?A的每个顺序主子式全大于0。

判断A正定的三种方法： ①顺序主子式法。 ②特征值法。 ③定义法。

基本概念

对称矩阵AT?A。 反对称矩阵AT??A。

简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。 如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵?A是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况）

①写出增广矩阵?A??，用初等行变换化?A??为阶梯形矩阵?B??。 ②用?B??判别解的情况。

i）如果?B??最下面的非零行为?0,?,0d?，则无解，否则有解。

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